전주중동 중등수학과외

전주중동중등수학과외, 닮음비 3:6에서 대응변 14의 길이를 표와 역비로 확인하기

닮은 두 삼각형에서 대응하는 한 변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 14에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 28입니다. 다만 답을 맞혔다고 해서 닮음비의 방향까지 분명한 것은 아닙니다. 전주중동중등수학과외에서는 계산 결과만 확인하기보다, 비례식의 분자들이 정말 같은 삼각형의 변인지 표시와 식으로 설명할 수 있는지를 함께 살핍니다.

3:6을 먼저 읽는 기준은 대응변의 위치입니다

주어진 3과 6은 아무 변이나 나란히 쓴 수가 아니라 서로 대응하는 변의 길이입니다. 작은 삼각형의 변을 먼저, 큰 삼각형의 변을 뒤에 놓기로 정하면 작은 것 대 큰 것은 3:6=1:2입니다. 작은 삼각형의 길이 14에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 x라고 두면 3:6=14:x, 또는 14:x=3:6으로 쓸 수 있습니다. 양변을 교차 곱하면 3x=6×14=84이므로 x=28입니다. 14에서 28로 길이가 두 배가 된 것은 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 옮길 때 닮음비가 1:2이기 때문입니다. 길이의 단위가 문제에 따로 주어지지 않았다면 답도 28이라는 길이로 남겨 두는 것이 맞습니다.

맞은 식에도 같은 삼각형끼리 묶는 표시가 필요합니다

풀이에는 작은 삼각형의 대응변끼리 한 줄, 큰 삼각형의 대응변끼리 한 줄로 적어 보는 방법이 유용합니다. 예를 들어 작은 쪽에는 3과 14, 큰 쪽에는 6과 x를 적으면 3/6=14/x에서 각 분자는 작은 삼각형의 길이, 각 분모는 큰 삼각형의 길이라는 관계가 보입니다. “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”라는 질문은 형식만 확인하는 질문이 아닙니다. 3/6=14/x가 성립하려면 위아래의 방향이 두 비에서 같아야 한다는 뜻입니다. 만약 3/6=x/14처럼 한쪽 비의 방향을 섞었다면 3×14=6x가 되어 x=7이 나옵니다. 이는 작은 삼각형의 14에 대응하는 큰 변이 오히려 작아지는 결과이므로, 3에서 6으로 커진 대응변의 관계와 맞지 않습니다. 28을 원래 식에 대입해 14/28=1/2, 3/6=1/2인지 확인하면 계산과 방향을 함께 검산할 수 있습니다.

순서를 뒤집어도 길이는 같다는 근거를 며칠 뒤 확인합니다

비교 문제에서는 큰 삼각형을 먼저 쓰도록 순서만 바꿉니다. 이때 큰 것 대 작은 것은 6:3=2:1이고, 구하려는 큰 삼각형의 변을 x로 두면 x:14=6:3입니다. 3x=6×14이므로 역시 x=28입니다. 닮음비가 2:1로 바뀐 것은 비교하는 방향을 큰 것에서 작은 것으로 뒤집었기 때문이며, 실제로 구하는 대응변의 길이가 달라진 것은 아닙니다. 해설의 순서가 달라도 같은 삼각형끼리의 길이를 같은 위치에 놓고 비의 방향을 끝까지 유지했다면 인정할 수 있습니다. 반대로 2:1이라는 말만 쓰고 어느 수가 큰 삼각형의 길이인지 표시하지 못한다면, 아직 확인할 부분이 남습니다.

다음에는 답을 가린 뒤 기본 문제에서 작은 쪽의 3과 14, 큰 쪽의 6과 28을 직접 묶어 비례식을 복원하게 합니다. 며칠 뒤 기록 없이 다시 풀 때에도 큰 삼각형을 먼저 쓴 비례식과 2:1의 의미를 근거로 제시할 수 있는지 확인합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 대응변 표, 화살표, 식 중 하나로 같은 관계를 나타내도 됩니다. 멈춘 지점이 대응변 찾기인지, 비의 방향 유지인지, 대입 검산인지에 따라 이후 복습 범위를 정하는 것이 삼각형의 닮음 이해를 더 정확히 확인하는 방법입니다.