전주중동 고3수학과외

표가 문장으로 바뀌자 경우를 세는 기준이 흔들린 날

전주중동 생활권에서 수능 순열과 조합을 정리하던 학생은 9월 모의평가의 풀이 흔적을 다시 펼쳤다. 같은 유형이라도 한 문제는 조건표로, 다른 문제는 서술형 문장으로 제시되어 있었다. 다음 날 표시를 지운 뒤 첫 식을 다시 세우는 과정에서 학생은 앞 문제의 풀이 순서를 그대로 옮겼다. 표에서는 먼저 사람을 고른 뒤 배열했지만, 문장형 문제에서도 무조건 그 순서를 유지하려 한 것이다.

예를 들어 5명 A, B, C, D, E 중 3명을 뽑아 줄 세우되 A와 B를 동시에 뽑지 않는 문제에서 학생은 먼저 5P3를 적고, A와 B가 함께 포함된 경우를 뒤에서 빼려 했다. 그러나 문제의 표에는 이미 ‘선택 가능 인원’과 ‘배치 순서’가 따로 나뉘어 있었다. 표현이 달라진 순간에도 예전 식의 진행 순서를 복사한 것이 최초의 어긋남이었다. 전주중동고3수학과외에서 이 장면을 기록할 때도 계산 결과보다, 어떤 정보를 먼저 선택조건으로 읽었는지를 중심으로 확인했다.

식보다 먼저 남겨야 했던 관계

학생은 답을 보고 거꾸로 맞추는 대신, 원래 조건으로 돌아가 허용되는 후보를 먼저 표시했다. A와 B가 함께 나올 수 없으므로 선택 단계에서 둘을 동시에 포함한 조합을 제거해야 한다. 순서가 있는 최종 배열은 그 뒤에 처리한다.

전체 선택은 5C3이고, A와 B를 함께 고르는 경우는 나머지 세 사람 중 한 명을 고르는 3C1이므로 허용되는 선택 수는 10-3=7이다. 각 선택된 세 명을 줄 세우는 방법은 3!이므로 전체 경우의 수는 7×3!=42이다. 학생은 이 계산을 외우는 대신 식 옆에 ‘먼저 허용 집합, 다음 배치’라고 적었다. 조합의 선택조건과 순열의 경우수를 한 줄에 섞지 않는 것이 교정의 핵심이었다.

보기 없는 서술형에서는 후보를 줄인 순서를 번호로 남겼다. ① A와 B가 동시에 선택된 후보 제거, ② 남은 선택 묶음 확인, ③ 각 묶음의 배열 계산. 마지막에 각 후보를 버린 이유를 다시 적으면서, 단순히 답에 맞는 식을 고른 것이 아님을 확인했다.

문장 순서를 뒤집은 변형

같은 숫자만 바꾸지 않고 자료 형식을 바꾼 문제를 제시했다. “A, B, C, D, E 중 세 명을 뽑아 원탁에 앉힌다. 단, A와 B는 함께 앉지 않는다”가 아니라, 먼저 원탁의 세 자리를 정한 표와 ‘A가 포함되면 B는 제외한다’는 조건을 따로 제시했다. 원탁에서는 회전이 같은 배치이므로 선택된 세 사람의 배열을 3!이 아니라 (3-1)!=2로 세어야 한다.

학생은 이번에는 표의 첫 줄을 보고 곧바로 순열식을 쓰지 않았다. ‘세 사람 선택’과 ‘원탁 배열’을 분리한 뒤, A와 B가 함께 선택되는 후보만 표시했다. 허용 선택이 7개이므로 원탁 배치는 7×2=14이다. 매개변수 k가 들어간 표에서도 k의 값에 따라 허용 후보가 달라지는 부분과 배열 방식이 달라지는 부분을 각각 다른 칸에 적었다. 표현이 문장, 표, 그림 중 무엇이든 공통으로 남는 관계를 찾으려 한 것이다.

그래서 학생은 해설의 계산과 자신의 첫 발상이 달랐던 지점을 비교하고, ‘선택조건인가, 배치조건인가’를 먼저 묻는 짧은 기준을 풀이 첫 줄에 남겼다.

힌트가 사라진 뒤에도 남은 첫 판단

마지막 검증에서는 식 대신 표와 그림이 섞인 문항을 사용했다. 6명 중 3명을 뽑아 일렬로 세우되 C는 반드시 포함하고 A와 B는 함께 선택하지 않는 문제였다. 학생은 먼저 C를 포함한 나머지 두 명의 선택을 분리했다. C와 A를 고르는 경우에는 B를 제외한 3명 중 한 명을 골라 3가지, C와 B를 고르는 경우에도 3가지, C만 포함하고 A와 B를 모두 제외하는 경우에는 나머지 3명 중 2명을 고르는 3가지여서 허용 선택은 9가지다. 각 선택을 일렬로 배열하므로 경우의 수는 9×3!=54이다.

학생은 답을 확인한 뒤 끝내지 않고, 조건을 하나씩 원식에 되돌려 보았다. C가 빠진 후보는 처음부터 제외되었는지, A와 B가 함께 들어간 후보는 남아 있지 않은지, 일렬 배열을 원탁 배열로 잘못 바꾸지 않았는지를 점검했다. 다음 날 문항 순서를 뒤섞고 보기까지 없앴을 때도 ‘허용 선택 표시→후보 제거 이유 기록→배열 방식 결정’이 스스로 나왔다. 식·표·서술의 모양은 달라졌지만 선택조건과 경우수를 분리하는 판단은 그대로 유지되었다.