전주중동 중1수학과외

전주중동 중1수학과외에서 다룬 나이 관계 방정식

전주중동과외 수업에서 학생이 막힌 지점은 계산보다 문장을 식으로 바꾸는 순간이었다.

문장 속 관계를 식으로 옮기는 과정

문제에는 “어머니의 나이는 학생의 나이의 3배보다 4살 많고, 두 사람의 나이의 합은 52살이다”라고 적혀 있었다. 학생은 곧바로 어머니의 나이를 52로 놓고 계산하려 했다. 공책에는 다음과 같은 식이 먼저 적혔다.

52 ÷ 3 = 17과 1/3

이 계산에서 풀이가 어긋나기 시작했다. 52는 두 사람 나이의 합이라는 등식 조건인데, 학생은 그 수를 한 사람의 나이처럼 사용했다. 아직 누구의 나이를 나타내는지 미지수를 정하지 않은 채 숫자부터 계산한 것이다.

식에 들어갈 숫자마다 “무엇을 나타내는가?”를 먼저 확인하자.

학생의 풀이 중 나이 관계를 읽어 낸 부분은 살렸다. 학생의 나이를 x살이라고 쓰고, 어머니의 나이는 “학생 나이의 3배보다 4살 많다”는 문장에 맞춰 3x+4로 나타냈다. 이제 합이 52라는 조건은 두 표현을 더하는 등식이 된다.

x + (3x + 4) = 52

괄호 안의 어머니 나이를 그대로 확인한 뒤, 양변에서 4를 빼고 4x를 구했다.

4x + 4 = 52
4x = 48
x = 12

학생은 여기서 멈추지 않고 12를 원래 문장에 대입했다. 어머니의 나이는 3×12+4=40이므로 두 나이의 합은 12+40=52가 된다. 또한 40은 12의 3배보다 4살 많으므로 처음 조건도 만족한다.

같은 개념을 다른 모양으로 다시 읽기

다음 문제는 식이 먼저 주어지지 않고 표와 문장으로 제시되었다. “누나는 동생보다 6살 많다. 4년 후 두 사람의 나이의 합은 38살이다.” 학생은 이전 문제의 모양을 그대로 베끼려 했지만, 이번에는 현재 나이를 바로 더하는 문제가 아니라 4년 후의 나이를 나타내야 했다.

학생은 동생의 현재 나이를 x살로 정하고, 누나의 현재 나이를 x+6으로 적었다. 이어서 두 사람의 4년 후 나이를 각각 x+4, x+6+4로 바꾸어 조건을 식으로 옮겼다.

(x+4) + (x+6+4) = 38

이번에는 식의 각 항 옆에 “동생 4년 후”, “누나 4년 후”라고 짧게 표시했다. 그 결과 현재 나이와 조건에 쓰인 나이를 섞지 않고 정리할 수 있었다.

2x + 18 = 38
2x = 20
x = 10

동생은 현재 10살, 누나는 16살이다. 4년 후에는 각각 14살과 20살이므로 합은 34살이다. 학생은 이 결과가 문제의 38살과 맞지 않는다는 것을 발견하고, 식을 다시 읽었다. 실제 조건이 “4년 후 두 사람의 나이의 합은 34살”인지 확인한 뒤 문장과 식의 숫자를 대조했다. 숫자를 억지로 맞추지 않고 등식 조건 자체를 다시 읽은 점이 중요했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

칠판에 적힌 풀이를 가린 뒤, 학생에게 “아버지는 딸보다 28살 많고, 6년 후 아버지 나이는 딸 나이의 2배가 된다”는 새 조건을 주었다. 학생은 먼저 딸의 현재 나이를 x살로 정했다. 아버지는 x+28살이며, 6년 후에는 딸이 x+6살, 아버지가 x+34살이라고 문장 옆에 적었다.

따라서 관계는 다음과 같이 나타났다.

x+34 = 2(x+6)

학생은 양변에서 x를 빼고 12를 얻은 뒤, 딸의 현재 나이가 22살임을 구했다. 아버지는 50살이고 6년 후에는 28살과 56살이 된다. 56은 28의 2배이며, 현재 나이 차이도 28살이다.

학생은 마지막에 “미지수는 딸의 현재 나이로 정했고, 각 나이는 같은 시점으로 바꾼 다음 조건을 등식으로 만들었다”고 설명했다. 표현이 합의 문장이든 미래 시점의 배수 조건이든, 누가 어떤 나이를 나타내는지 먼저 정하고 원래 조건에 다시 대입하면 나이 관계 방정식을 스스로 확인할 수 있었다.

전주중동중1수학과외에서는 정답 숫자보다 문장 속 나이의 기준 시점과 등식의 의미를 정확히 옮기는 과정을 중심으로 연습했다.