전주중동 고등수학과외

전주중동 고등수학과외에서는 삼각함수 식을 계산하는 데서 멈추지 않고, 정의역이 바뀌었을 때 그래프와 해 구간이 어떻게 달라지는지 확인하는 연습을 진행합니다. 전주솔내고등학교와 양현고등학교 학습 자료를 참고할 때도 특정 출제 경향을 단정하기보다, 학생이 직접 식과 그림을 연결하는 과정을 살펴봅니다. 신영통현대타운1단지와 반달마을 생활권에서 수업하는 학생에게는 아래처럼 한 문제를 여러 표현으로 복원하게 합니다.

7sinθ+10cosθ의 그래프를 해 구간으로 읽기

학생에게 다음 조건을 제시했습니다.

7sinθ+10cosθ≥10, 0≤θ≤2π

처음에는 해설을 가린 뒤, 삼각부등식의 구조를 복원하도록 했습니다. 학생은 7과 10을 직각삼각형의 두 변으로 보고

7sinθ+10cosθ=√149 cos(θ-φ), cosφ=10/√149, sinφ=7/√149

라고 정리했습니다. 여기까지는 정확했습니다. 보조선의 목적도 “두 삼각함수를 하나의 위상 이동한 코사인으로 바꾸어 그래프와 해의 위치를 읽기 위해서”라고 설명했습니다.

문제는 그래프와 해 구간을 연결하는 순간 나타났습니다. 학생은 θ=30°에서 sinθ와 cosθ가 모두 양수라는 사실을 따로 확인했지만, 그래프의 최고점이 θ=0에서 시작한다고 생각했습니다. 그래서 10을 지나는 두 교점 사이를 단순히 대칭 구간으로 잡고, φ만큼 이동된 사실을 해 구간에 반영하지 않았습니다. 실제 값은

7sin30°+10cos30°=7/2+5√3

이므로 10보다 큽니다. 그런데 학생이 그린 그래프에서는 30°를 해가 아닌 쪽에 배치했습니다. 첫 오류는 부호 판단이 아니라, 위상 이동한 그래프의 가로축 위치를 원래 코사인 그래프처럼 읽은 데 있었습니다.

그래프를 다시 세우는 교정 과정

식의 최대값은 √149이고, 그래프의 꼭짓점은 θ=φ에서 나타납니다. φ는 약 35°이므로 30° 부근에서 그래프가 높은 값을 가져야 합니다. 기준선 y=10과 만나는 각을 α라고 하면

α=cos^-1(10/√149)

이고, 일반적인 해는 φ-α≤θ≤φ+α입니다. 0≤θ≤2π에서 이 구간은 그대로 첫 번째 해 구간이 됩니다. 학생은 그래프에 θ=φ를 먼저 표시한 뒤, 양쪽으로 α만큼 이동하여 두 교점을 표시했습니다. 이후 30°를 그 사이에 놓고 직접 대입하자 그래프 판독과 계산 결과가 일치했습니다.

정의역을 [-π,π]로 바꾸면 식 자체의 그래프는 변하지 않지만 보이는 구간이 달라집니다. 따라서 해를 구한 뒤 정의역에 맞춰 잘라야 합니다. 반대로 [0,4π]에서는 같은 모양이 두 번 반복되므로 한 주기의 해를 복사하되, 2π를 더한 구간도 빠뜨리지 않아야 합니다.

조건을 바꾼 뒤 혼자 복원하기

교정 직후에는 계수를 그대로 두지 않고 부등호를 바꿨습니다.

7sinθ+10cosθ≤0, -π≤θ≤π

학생은 먼저 √149 cos(θ-φ)≤0으로 바꾸고, 코사인이 음수인 구간을 위상 이동하여 판단했습니다. 이때 0을 지나는 두 점을 그래프에서 찾은 뒤 정의역 [-π,π]와 겹치는 부분만 남겼습니다. 처음 문제처럼 기준선이 10인 경우와 달리 이번에는 교점의 높이가 0이라는 점을 이용해 부호표와 그래프를 함께 확인했습니다. 선생님의 중간 지시 없이 구간을 적고, 끝점에서 식의 값이 0인지 계산했습니다.

단위원으로 끝까지 검산하기

마지막에는 그래프를 다시 베끼지 않고 단위원을 이용했습니다. θ=30°는 제1사분면이므로 sinθ와 cosθ가 모두 양수입니다. θ=150°에서는 sinθ는 양수, cosθ는 음수이고, θ=210°에서는 두 값이 모두 음수입니다. 이 부호를 7sinθ+10cosθ에 대입해 그래프의 위아래 위치와 비교했습니다.

또한 경계각 φ-α와 φ+α를 원식에 재대입하여 각각 10이 되는지 확인했습니다. 30°에서는 값이 10보다 크고, 그래프의 꼭짓점 φ에서는 √149가 되어 기준선보다 높습니다. 이런 두 방식의 비교를 거치며 학생은 “교점 사이”라는 말만 외우지 않고, 이동된 중심각·정의역·사분면 부호를 함께 검증하게 되었습니다.

자주 묻는 질문

계수를 왜 √149로 묶나요?

7과 10을 각각 √149×7/√149, √149×10/√149로 표현하면 사인과 코사인의 결합을 하나의 위상 이동한 삼각함수로 바꿀 수 있습니다.

정의역이 바뀌면 그래프도 달라지나요?

함수의 전체 그래프는 같고, 문제에서 보여 주거나 선택하는 구간만 달라집니다.

30°의 사분면 확인이 해를 결정하나요?

단독으로 결정하지는 않습니다. 부호를 점검하는 자료이며, 실제 해는 기준선과 교점 및 정의역을 함께 보아야 합니다.

끝점도 반드시 대입하나요?

부등식이 등호를 포함하면 끝점을 포함할 수 있으므로 원식에 재대입해 확인하는 편이 안전합니다.