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전주중동 고1수학과외

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전주중동 고1수학과외 | 명제의 역과 대우에서 오답 원인 분리하기

학생은 명제 문제를 보자마자 조건에 등장한 수를 작은 예로 바꾸어 보며 풀이 순서를 잡았다. 하지만 원명제와 대우를 비교하는 과정에서 조건의 부정을 한쪽에만 적용했고, 그 결과 역을 대우처럼 판단했다.

화살표의 방향이 바뀐 순간

예를 들어 “정수 n이 4의 배수이면 n은 짝수이다”를 원명제라고 하자. 학생은 이를 뒤집은 “n이 짝수이면 4의 배수이다”도 참이라고 보았다. ‘조건과 결론의 위치를 바꾼다’는 행동과 ‘두 명제를 부정한 뒤 위치를 바꾼다’는 행동을 구분하지 못한 것이다.

원명제: P이면 Q
역: Q이면 P
대우: Q가 아니면 P가 아니다

교정할 때는 풀이 옆에 P→Q의 화살표를 먼저 적고, 역은 화살표만 반대로 바꾸며 대우는 P와 Q를 각각 부정한 뒤 방향을 바꾸게 했다. 같은 숫자를 다시 넣는 대신 명제의 형식을 표시하자, 역은 원명제와 항상 같은 참값을 갖지 않지만 대우는 원명제와 동치라는 차이가 드러났다.

표현을 바꾼 조건에 적용하기

다음에는 “어떤 정수가 짝수가 아니면 4의 배수가 아니다”라는 문장을 제시했다. 학생은 이를 앞의 역명제로 착각하지 않고, ‘짝수가 아니다’를 P의 부정으로 읽어 대우의 형태임을 판별했다. 이어 “4의 배수가 아니면 짝수가 아니다”는 역이 아니라 원명제의 역이 변형된 문장임을 구분했다.

  • 원명제: 4의 배수이면 짝수이다.
  • 역: 짝수이면 4의 배수이다.
  • 대우: 짝수가 아니면 4의 배수가 아니다.

반례로 최종 판단하기

마지막에는 역명제의 참·거짓을 기호 변환 없이 확인하도록 했다. 짝수인 수 6을 넣었을 때 4의 배수가 아니므로 “짝수이면 4의 배수”는 거짓이고, 역과 대우를 혼동했던 원인이 사라졌다. 학생은 새로운 문장에서도 먼저 명제의 방향을 정한 뒤, 필요한 경우 반례로 역의 성립 여부를 검증했다.

전주중동 생활권에서 진행한 이 학습은 명제의 문장을 외우는 데 그치지 않고, 역과 대우를 구별하는 기준을 다른 표현의 문제에도 옮기는 데 초점을 두었다.

전주중동 고1수학과외 학부모 후기

시험지를 파일에 넣어 보관하려던 날, 아이가 답지를 옆에 두고도 바로 펼치지 않는 모습이 눈에 띄었어요. 전에 문제를 마무리할 때는 나중에 확인할 흔적을 따로 남기지 않았는데, 그날에는 자신이 적어 둔 계산을 한 줄씩 거꾸로 따라가며 살펴보고 있더라고요. 어디서 달라졌는지 먼저 찾아보려는 듯했습니다. 전주중동 수학과외라는 말을 주변에서 자주 듣던 때라 이런 장면이 더 유심히 보였는지도 모르겠어요. 다른 빈칸 문제를 풀던 날에도 해설부터 찾지 않고, 계산한 줄을 차례로 되짚은 뒤 한 부분을 다시 확인했어요. 그 자리에서 다른 내용까지 덧붙이지 않고, 다시 본 부분에서 손을 멈추는 모습이 인상적이었습니다.

★★★★★학부모 후기

문제집 해설지를 정리하다가 한 페이지에서 손이 멈췄어요. 기하 문제 그림을 그대로 두지 않고, 필요한 조건만 골라 새 도형을 그린 뒤 그 옆에 내용을 옮겨 적었더라고요. 예전 복습 때는 확인해야 할 부분을 따로 잘라 보듯 나누는 모습이 거의 없었거든요. 전주중동 수학과외 이야기를 나누며 책상 주변을 정리하던 때였는데, 그 그림에서 바로 풀이를 이어 간 흔적도 보이더라고요. 단순히 그림을 다시 그린 게 아니라, 문제에 나온 정보 중 지금 필요한 것만 남겨 놓은 셈이라 눈에 띄었습니다. 새 문제집을 펼쳤을 때도 같은 식으로 접근했어요. 원래 그림 옆에 필요한 조건만 옮긴 도형을 따로 만들고, 처음 판단한 부분과 다시 살펴본 곳을 함께 표시해 두었더라고요. 페이지마다 풀이가 시작되는 지점이 그림 안에 남아 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위가 발표된 날 저녁, 아이 책상 위에 풀이가 두 줄로 나뉘어 적혀 있더라고요. 왼쪽과 오른쪽을 번갈아 보면서 어느 단계부터 달라졌는지 표시해 둔 모습이 먼저 눈에 들어왔어요. 전주중동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 기대했던 건 아니었는데, 직접 보니 조금 새롭게 보였어요. 예전에는 해설이나 답을 확인하고 나면 자기 풀이를 다시 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 정답을 먼저 따라가기보다 두 풀이를 나란히 놓고 처음 달라진 부분을 찾아 표시했어요. 단순히 맞고 틀린지만 보는 게 아니라 풀이의 중간 과정을 비교하고 있었습니다. 그 뒤 계산 문제를 풀 때도 한쪽 풀이만 지나치지 않았어요. 두 과정에서 처음 갈라지는 지점에 표시를 해두고, 다음에 다시 펼쳐 볼 자리까지 남겨 두더라고요. 문제의 답보다 어느 단계에서 달라졌는지를 먼저 짚어 둔 게 인상적이었어요.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 아이가 수업 후 복습할 내용을 스스로 정리하는 모습이 눈에 띄었습니다. 전주중동에서 시작한 과외 초반에는 틀린 이유보다 정답에만 매달렸지만, 선생님이 할 수 있는 문제부터 편하게 풀게 하고 오늘 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 이제는 막혀도 한 번 더 살펴보려 합니다.

★★★★★학부모 후기

전주중동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 저녁만 되면 책상에 앉는 것부터 싫었고, 어려운 문제는 틀린 이유보다 답부터 확인하려 했습니다. 시험 전 마지막 주말에는 궁금한 내용을 스스로 적어 갔는데, 선생님께서 사소한 질문도 왜 궁금했는지 먼저 들어 주셔서 편하게 물어볼 수 있었습니다. 숙제가 많다고 느껴질 때도 먼저 말하게 된 것이 가장 큰 변화였습니다.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 계획을 세울 때 아이가 수업 일정에 맞춰 스스로 조절하는 모습이 눈에 띄었습니다. 전주중동 수학과외 선생님은 숙제를 확인하며 막힌 문제도 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고, 당일 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셨습니다. 시험 전에도 부담을 덜 느끼며 공부할 분량을 직접 확인하고 시작하는 날이 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기