진북동 중등수학과외

진북동중등수학과외, 직육면체 높이 변화에서 겉넓이와 부피를 확인하는 방법

가로 12, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하는 문제에서는 겉넓이 192제곱단위, 부피 144세제곱단위가 나온다. 답을 맞혔다면 다음 확인은 계산을 다시 반복하는 일이 아니라, 각 식이 무엇을 나타내는지 풀이 기록으로 설명하는 일이다. 특히 “높이를 바꿔도 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?”라는 질문은 겉넓이와 부피를 구별하는 핵심이다. 진북동중등수학과외 수업에서는 정답 하나만 확인하기보다, 면의 넓이를 더한 결과와 입체 안의 공간을 곱으로 구한 결과가 왜 달라지는지 살핀다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 따로 보며 192를 설명하기

직육면체에는 가로×세로인 밑면과 윗면이 각각 한 개씩 있다. 이 문제에서 그 넓이는 12×3=36이므로, 두 면의 합은 36×2=72제곱단위이다. 높이가 4일 때 옆면은 가로×높이인 12×4=48인 면이 두 개, 세로×높이인 3×4=12인 면이 두 개이다. 따라서 옆면의 합은 48×2+12×2=120제곱단위이고, 전체 겉넓이는 72+120=192제곱단위가 된다.

여기서 높이를 바꾸어도 그대로인 면은 가로 12와 세로 3으로 이루어진 밑면과 윗면이다. 이 두 면의 넓이를 정하는 데에는 높이 4가 들어가지 않기 때문이다. 반대로 옆면 네 개는 한 변으로 높이를 사용하므로 높이가 달라지면 넓이도 달라진다. 전개도에 밑면·윗면을 같은 번호로 표시하고, 옆면에는 높이 4가 들어간 곱셈을 표시하면 이 관계를 식과 그림으로 함께 확인할 수 있다.

부피 144는 높이가 곱해지는 공간의 양이다

부피는 겉에 드러난 면을 모두 더하는 값이 아니라, 밑면 위로 쌓인 공간의 양이다. 먼저 밑면 넓이 12×3=36제곱단위를 구하고, 그 밑면이 높이 4만큼 쌓였다고 보아 36×4=144세제곱단위로 계산한다. 즉 부피 식 12×3×4에서 높이 4는 밑면 넓이에 곱해진다. 넓이에는 제곱단위, 부피에는 세제곱단위를 쓰는 이유도 하나는 면의 크기이고 다른 하나는 공간의 크기이기 때문이다.

정답 근거를 확인할 때에는 “144가 맞다”는 말보다 36이 어떤 면의 넓이인지, 4가 어느 방향의 길이인지 짚는 설명이 중요하다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 밑면 36을 적고 그 옆에 “높이 4만큼”이라고 표시하거나, 단위 차원표에 12단위×3단위×4단위=144세제곱단위로 적어도 된다. 계산 절차를 기억한 경우와 관계를 이해했지만 표현이 짧은 경우는 한 번의 반응만으로 구분하지 않고, 그림·식·말 중 편한 방식으로 근거를 다시 보게 한다.

높이를 8로 바꾼 뒤, 며칠 뒤에도 스스로 비교하기

비교 과제에서는 가로 12와 세로 3은 유지하고 높이만 8로 바꾼다. 밑면과 윗면의 합은 여전히 36×2=72제곱단위이다. 그러나 옆면은 12×8=96인 면 두 개와 3×8=24인 면 두 개가 되어 96×2+24×2=240제곱단위이다. 따라서 겉넓이는 72+240=312제곱단위이다. 높이가 4에서 8로 두 배가 되었어도 밑면과 윗면 72는 변하지 않으므로, 겉넓이 전체가 192의 두 배가 되는 것은 아니다.

부피는 밑면 넓이 36에 새 높이 8을 곱하므로 36×8=288세제곱단위이다. 원래 부피 144의 두 배가 되는 까닭은 부피 식에서 높이가 직접 곱해지는 항이기 때문이다. 며칠 뒤에는 앞선 답과 해설을 가린 채 같은 비교 과제를 풀어 보고, 밑면 두 개가 고정된 이유와 부피에서 높이가 곱해진 위치를 기록으로 남긴다. 312제곱단위와 288세제곱단위를 맞히는 것에 더해, 고정된 72와 달라진 옆면의 합을 스스로 표시할 수 있는지를 다음 복습 범위의 기준으로 삼는다.