진북동 고3수학과외

조건 하나를 먼저 세운 뒤 시작한 중복순열 풀이

진북동 생활권의 고3 수학 학습에서 학생이 가져온 문제는 숫자 1, 2, 3, 4를 중복해서 사용하여 네 자리 문자열을 만드는 경우의 수를 묻고 있었다. 단, 첫 자리는 홀수이고 숫자 2가 정확히 두 번 들어간다는 제한이 붙어 있었다. 신영통현대타운 인근 학습 상담에서 비슷한 유형을 다룰 때처럼, 학생은 처음부터 모든 조건을 식에 넣기보다 먼저 “중복 허용, 첫 자리 홀수, 2의 개수는 두 개”라고 적은 뒤 계산을 시작했다.

계산보다 먼저 드러난 빈칸

첫 시도에서 학생은 네 자리 전체를 1, 2, 3, 4 중 하나로 채우는 중복순열이라는 점에 집중했다. 그래서 숫자 2를 두 자리에 배치하는 방법을 고른 뒤, 남은 두 자리를 네 가지 숫자로 채우려 했다. 그러나 2의 위치를 고르는 과정에서 첫 자리에 2가 놓이는 경우까지 포함했다. 첫 자리는 홀수여야 하므로 이 경우는 애초에 허용되지 않는다.

최초 오류는 계산 실수가 아니라 첫 자리 제한을 숫자 2의 위치를 선택한 뒤에야 확인하려 한 것이었다. 이 방식에서는 2가 배치된 위치와 첫 자리 조건이 충돌하는 후보를 걸러내기 어렵다. 학생의 오답은 조건을 읽지 않은 것이 아니라, 조건의 적용 순서를 정하지 않은 데서 생겼다.

허용되는 첫 자리를 표본공간으로 고정하기

교정은 한 줄의 기록으로 제한했다. 학생은 식을 쓰기 전에 첫 자리를 1 또는 3으로 고정하고, 그 뒤 세 자리에 숫자 2가 정확히 한 번 더 들어가야 한다고 다시 적었다. 첫 자리는 2가 될 수 없으므로 남은 세 자리 중 2가 놓일 자리를 고르는 방법은 3가지다. 그 자리를 제외한 두 자리는 1, 3, 4 중 하나를 중복하여 고를 수 있으므로 각각 3가지이다.

따라서 경우의 수는

2 × 3 × 3² = 162

이다. 여기서 앞의 2는 첫 자리 선택, 가운데 3은 남은 자리에서 숫자 2가 들어갈 위치 선택, 뒤의 3²는 나머지 자리의 반복 선택을 뜻한다. 학생은 이 세 요소를 한 덩어리의 중복순열로 처리하지 않고, 제한조건을 반영하는 선택과 반복해서 채우는 경우의 수로 나누어 적었다.

보기 없이 답만 쓰는 형식으로 바꾸자 학생은 계산을 마친 뒤 “첫 자리를 1이나 3으로 골랐기 때문에 2가 첫 자리에 오는 후보는 없다”고 설명했다. 조건을 식 옆에서 확인하는 행동이 해설이나 보기의 도움 없이도 남아 있는지 확인한 장면이었다.

조건의 위치를 바꾸어 다시 만든 문제

같은 숫자와 같은 자리를 단순히 바꾸는 대신, 다음과 같이 문제의 구조를 바꾸었다. 숫자 A, B, C, D를 중복 사용하여 네 자리 배열을 만들되, 마지막 자리는 A 또는 C이고 B는 정확히 두 번 등장한다고 하였다. 이번에는 제한조건이 첫 자리가 아니라 마지막 자리에 놓였고, 반복되는 문자의 종류도 2에서 B로 바뀌었다.

학생은 이전 풀이를 그대로 옮기지 않았다. 먼저 마지막 자리를 A 또는 C 중 하나로 정해 두고, 남은 세 자리 중 B가 한 번 더 들어갈 위치를 3가지로 표시했다. B가 아닌 두 자리는 A, C, D 중에서 중복 선택할 수 있으므로 3²가지가 된다. 따라서 이 문제도 2 × 3 × 3²로 계산되지만, 학생은 숫자가 같아서가 아니라 “제한된 위치를 먼저 고정한 뒤 반복 선택을 남긴다”는 원리 때문이라고 설명했다.

특히 마지막 자리가 B인 배열을 예로 들어 스스로 제외했다. 조건의 순서가 문제 앞부분이 아니라 끝부분에 제시되어도, 제한된 자리를 먼저 찾아야 한다는 판단이 유지된 것이다. 전주고3수학과외 학습에서 중복순열을 다룰 때도 이런 식으로 조건의 위치와 반복 대상의 역할을 분리해 기록하면, 공식만 외워 생기는 누락을 줄일 수 있다.

유형명을 지운 최종 점검

마지막에는 ‘중복순열’이라는 단어와 보기, 풀이 힌트를 모두 가린 새 문제를 제시했다. 네 자리 배열에서 숫자 0, 1, 2, 3을 반복 사용하고, 마지막 자리는 1 또는 3이며 숫자 0이 정확히 두 번 등장한다는 조건이었다. 학생은 먼저 마지막 자리의 선택을 2가지로 적고, 남은 세 자리에서 0이 들어갈 위치를 3가지로 표시했다. 나머지 두 자리는 0이 아닌 1, 2, 3 중에서 골라야 하므로 3²이라고 밝혔다.

그 뒤 완성한 배열 하나를 원래 조건에 다시 대입해 마지막 자리와 0의 개수를 확인했다. 반대로 마지막 자리가 0인 후보를 만들어 제외 이유도 설명했다. 새로운 문제에서 학생이 스스로 조건을 찾고, 첫 식의 각 인자를 말하며, 후보를 원래 조건에 재검토한 것이다. 진북동과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 계산 전에 허용 범위를 먼저 좁히는 판단이 문제의 표현이 달라져도 유지되었다는 점에 있었다.