진북동 중2수학과외

분수가 있는 연립방정식, 계산보다 먼저 정한 한 줄

진북동과외라는 이름으로 진행된 수업이었지만, 이날 확인한 핵심은 계산 속도가 아니라 대입하기 전 어느 식을 어떻게 정리할지 정하는 판단이었다.

분모를 없애는 계산은 두 식을 살펴본 뒤 시작해야 한다.

첫 줄에서 드러난 선택

문제는 다음과 같았다.

① x/2 + y/3 = 5
② x - y/2 = 1

학생은 먼저 두 식의 분모에 동그라미를 치고, ①에는 6을 곱해 3x+2y=30이라고 적었다. ②에는 2를 곱해 2x-y=2라고 바꾸었다. 여기까지는 각 식에 같은 수를 곱해 분모를 없애는 과정이 정확했다.

그다음 학생은 ① 옆에 ‘y 정리’, ② 옆에 ‘x 정리’라고 표시했다. ②에서 x=1+y/2를 만든 뒤 ①에 넣으려는 계획이었다. 그러나 실제로는 ②를 정리하면서 x=2+y라고 잘못 적었다. 분모 2를 없애려고 식 전체에 2를 곱한 뒤, x-y/2=1에서 x-y=2라고 바꾸어야 하는데 x를 포함한 항까지 함께 처리하지 않은 것이다.

학생은 그 식을 ①에 대입해 3(2+y)+2y=30을 계산했고, y=24/5를 얻었다. 값을 구한 뒤 두 원래 식에 넣어 보려 했지만, ②에서 양변이 맞지 않자 ‘계산 실수’라고 지우려 했다.

결과가 아니라 최초의 판단을 찾다

오류는 마지막 검산에서 생긴 것이 아니었다. 대입을 시작하기 전에 ②를 올바른 형태로 정리하지 않은 것이 첫 어긋남이었다. 학생은 분모가 있는 식을 정수 계수로 바꾸는 과정과, 한 미지수에 대해 식을 정리하는 과정을 한 줄에서 섞었다.

교사는 이미 맞게 처리한 ①의 분모 제거 과정은 그대로 두고, ②에만 다음 한 가지 행동을 다시 적용하게 했다.

대입할 미지수의 계수를 1로 만들기 전에, 식 전체의 모든 항에 같은 수를 곱한다.

학생은 ②에 2를 곱해 2x-y=2를 만든 뒤, y를 오른쪽으로 옮겨 2x=y+2, 마지막으로 x=(y+2)/2라고 적었다. 이제 ①의 3x+2y=30에 x=(y+2)/2를 대입했다.

3(y+2)/2+2y=30에서 양변에 2를 곱해 3y+6+4y=60, 7y=54, y=54/7을 얻었다. x에는 이 값을 넣어 x=20/7을 계산했다. 학생은 원래 식 ②에 x=20/7, y=54/7을 대입해 20/7-27/7=-1이라고 확인했고, 문제의 오른쪽 1과 맞지 않음을 발견했다.

여기서 교사는 다시 대입 결과만 고치지 않고, ②의 이항을 되짚었다. 2x-y=2에서 y를 오른쪽으로 옮기면 2x=y+2가 아니라 2x-y=2이므로 x를 정리할 때 x=(y+2)/2는 맞지만, 처음 원래 식 ②의 우변이 1이므로 분모를 없앤 식은 2x-y=2가 맞다. 학생이 계산 중 3(y+2)/2+2y=30에 대입한 것은 ①의 정수식 3x+2y=30에 해당하므로, 계산값을 다시 확인했다. 3(20/7)+2(54/7)=60/7+108/7=168/7=24가 되어 30이 아니었다. 따라서 대입 전 ①을 6배로 바꿀 때 x/2는 3x가 되지만 y/3은 2y가 된다는 점을 다시 확인했다. 이 식의 오른쪽은 5×6=30이므로, y=54/7이 나온 계산에 오류가 있음을 찾아냈다.

정확한 대입은 3(y+2)/2+2y=30이다. 양변에 2를 곱하면 3y+6+4y=60, y=54/7이고, x=(54/7+2)/2=34/7이다. 원래 ②에 넣으면 34/7-27/7=1, ①에 넣으면 17/7+18/7=5가 된다.

표현이 바뀐 문제에서 다시 고르기

다음 문제는 정수 계수로 바로 주어지지 않았다.

① 0.5x+0.25y=3
② x-y/4=2

이번에는 학생이 곧바로 대입하지 않고, 각 식 옆에 ‘분모 또는 소수 제거’와 ‘정리할 미지수’를 나누어 적었다. ①은 0.25를 기준으로 4를 곱해 2x+y=12로 바꾸고, ②는 4를 곱해 4x-y=8로 바꿀 수 있다. 학생은 두 식 모두 x의 계수가 1이 되지 않았으므로, 대입할 식을 억지로 고르지 않고 ①에서 y=12-2x를 먼저 만들었다.

이를 ②에 넣어 4x-(12-2x)=8, 6x=20, x=10/3, y=16/3을 구했다. 숫자만 달라진 문제가 아니라 소수와 분수가 함께 제시되고, 정리할 문자가 바뀐 상황에서도 ‘분모를 없앤 뒤 한 미지수를 계수 1로 만든다’는 기준을 먼저 세운 것이다.

힌트 없이 남긴 검산 기록

수업 후 제시한 문장형 문제에서 학생은 두 조건을 각각 식으로 옮겼다. 한 요금은 다른 요금의 절반보다 3만큼 크고, 두 요금의 합은 15라는 조건을 x=y/2+3, x+y=15로 적었다. 이어 x를 정리한 첫 식을 두 번째 식에 대입했다.

학생은 풀이 중간에 “첫 식은 x를 하나로 만들기 쉽고, 대입 뒤에는 원래 두 조건을 모두 확인해야 한다”고 스스로 말했다. 계산을 끝낸 뒤에는 구한 두 값을 첫 번째 식과 두 번째 식에 각각 넣어 조건이 모두 맞는지 확인했다. 분수가 보였다는 이유로 바로 계산하지 않고, 식 전체의 분모를 처리한 다음 대입할 미지수와 식을 정하는 판단이 도움 없이 재현된 장면이었다. 이러한 과정을 진북동중2수학과외 학습에서도 같은 기준으로 기록할 수 있다.