선암동 중등수학과외

선암동중등수학과외, (x-10)(x+2)=0에서 길이 조건까지 확인하는 방법

(x-10)(x+2)=0의 답을 x=10 또는 x=-2라고 맞혔더라도, 두 답이 왜 함께 나오는지와 길이로 바뀌었을 때 무엇을 골라야 하는지는 따로 확인할 필요가 있습니다. 이차방정식에서는 식을 만족시키는 ‘방정식의 해’와 문제 상황에서 사용할 수 있는 ‘상황의 해’가 같을 때도 있지만, 조건이 붙으면 달라질 수도 있기 때문입니다. 선암동중등수학과외 수업에서는 정답을 다시 암기시키기보다 풀이에 적힌 인수와 학생의 설명이 같은 뜻을 가리키는지 살펴봅니다.

곱이 0이 되는 두 갈래를 식에서 읽기

기본 식은 (x-10)(x+2)=0입니다. 왼쪽은 두 인수의 곱이므로, 곱이 0이 되려면 첫째 인수 x-10이 0이거나 둘째 인수 x+2가 0이어야 합니다. 따라서 x-10=0에서 x=10, x+2=0에서 x=-2를 얻어 x=10 또는 x=-2가 됩니다. 여기서 ‘또는’은 둘 중 하나만 임의로 고르라는 말이 아니라, 각각의 경우가 원래 곱을 0으로 만든다는 뜻입니다. x=10을 대입하면 (10-10)(10+2)=0×12=0이고, x=-2를 대입하면 (-2-10)(-2+2)=(-12)×0=0입니다. 두 값 모두 원식을 만족하므로 방정식의 해는 빠짐없이 10과 -2입니다.

맞힌 답을 오답처럼 고치기보다, 풀이 기록에서 두 인수에 각각 동그라미를 치고 화살표를 그어 ‘x-10=0 → x=10’, ‘x+2=0 → x=-2’로 연결해 볼 수 있습니다. “어느 인수가 0이 되어도 곱은 0인가요?”라는 질문에는 긴 문장 대신 두 갈래 표시와 대입식으로 답해도 됩니다. 말, 식, 표시 가운데 어느 방식이든 두 인수를 모두 0으로 놓았다는 내용이 드러나는지가 핵심입니다.

길이라는 새 조건은 해를 지우는 계산이 아니다

비교 과제에서는 x가 양수인 길이라는 조건이 추가됩니다. 방정식 자체는 그대로이므로 먼저 x=10 또는 x=-2라는 두 해를 구합니다. 그다음 길이는 0보다 커야 한다는 상황 조건을 적용합니다. 10은 양수이므로 가능한 길이이고, -2는 음수이므로 길이로 사용할 수 없습니다. 따라서 가능한 길이는 10입니다. -2가 계산 실수여서 사라진 것이 아니라, 방정식은 만족하지만 길이의 조건에는 맞지 않아 제외된다는 순서가 중요합니다.

이때 ‘답은 10’만 적으면 방정식의 해와 상황의 해가 섞일 수 있습니다. 풀이 아래에 ‘방정식의 해: 10, -2’, ‘길이로 가능한 값: 10’처럼 나누어 적으면 판단 근거가 선명해집니다. -2를 원식에 대입하면 곱은 실제로 0이 되지만, -2>0이 거짓이므로 양수 길이 조건은 통과하지 못합니다. 식의 검산과 상황 조건의 확인을 각각 한 것입니다.

정답을 가린 뒤 조건 적용 과정을 다시 확인하기

다음 확인에서는 답을 먼저 보지 않고, (x-10)(x+2)=0에서 어느 인수를 0으로 둘지 스스로 분기해 적게 합니다. 이후 ‘x가 양수인 길이’라는 문장을 덧붙여 두 값 중 무엇을 남길지 판단하게 합니다. 이 과정에서 x=10, -2를 모두 구한 뒤 10만 선택하고, -2를 제외한 이유를 ‘음수라서 길이가 될 수 없다’고 식 또는 말로 연결하면 필요한 근거가 드러납니다. 반대로 한 해만 처음부터 적거나 -2를 단순히 지워 버린다면, 두 인수에서 해를 찾는 단계와 양수 조건을 적용하는 단계를 나누어 다시 확인합니다.

이미 맞힌 문제의 복습은 같은 계산을 여러 번 반복하는 데 있지 않습니다. 며칠 뒤 정답을 가린 상태에서 두 인수를 각각 0으로 놓을 수 있는지, 그리고 길이 조건이 붙으면 왜 -2를 제외하는지 확인하는 편이 좋습니다. 해설과 적는 순서가 조금 달라도 원식을 만족하는 두 해를 제시하고, 양수 조건으로 가능한 길이 10을 골랐는지까지 보이면 풀이의 근거를 점검할 수 있습니다.