선암동 중3수학과외

선암동 중3수학과외에서 확인한 두 제곱근의 의미

선암동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 다음과 같았습니다.

방정식 x²=49를 풀어라.

문제 자체는 짧았지만, 풀이 기록에는 중요한 판단이 먼저 적혀 있었습니다.

x²=49에서 양의 제곱근을 구하면 x=√49=7이다.

그 뒤에는 계산이 이어지지 않고 바로 x=7이라고 답을 표시했습니다. √49=7이라는 계산은 맞았지만, x²=49를 만족하는 x를 모두 찾는 과정에서는 이미 한쪽 해만 남긴 상태였습니다.

계산 전에 확인해야 할 대상

이 문제에서 먼저 살펴볼 것은 √49의 값 하나가 아니라, 제곱해서 49가 되는 x 전체입니다. 7²=49이므로 x=7이 가능하고, (-7)²도 49이므로 x=-7도 가능합니다. 따라서 x²=a 꼴에서 a가 양수라면 양의 제곱근만 적는 것이 아니라 양쪽 수를 함께 확인해야 합니다.

학생의 최초 판단은 “제곱근은 양수인 √49=7이므로 해도 7 하나”라고 연결한 부분이었습니다. √49의 표기값이 7이라는 사실과, x²=49의 해가 7 하나라는 결론은 같은 뜻이 아닙니다. 결과가 틀어진 출발점은 계산 실수가 아니라 양의 해만 남긴 선택이었습니다.

맞았던 계산은 두고, 해를 찾는 표시만 바꾸기

교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 것이 아니었습니다. 이미 확인한 √49=7은 그대로 두고, 제곱근을 취하는 줄에 ±를 붙였습니다.

x²=49
x=±√49
x=±7
따라서 x=7 또는 x=-7

여기서 ±는 계산 결과를 흐리게 쓰는 기호가 아니라, 제곱했을 때 같은 양수가 되는 두 수를 함께 나타내는 표시입니다. 학생은 다음부터 계산을 시작하기 전에 식 오른쪽의 수가 양수인지 보고, 양수라면 “두 해를 확인한다”는 짧은 메모를 먼저 남겼습니다. 이번 문제에서는 그 한 가지 행동만 고쳤고, √49를 계산한 과정은 그대로 유지했습니다.

모양이 달라진 문제에서 기준을 다시 선택하기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 조건과 식의 모양을 바꾼 문제를 제시했습니다.

한 변의 길이를 x라 할 때 넓이가 18㎠인 정사각형이 있다. x²=18을 만족하는 x를 구하여라.

학생은 먼저

x²=18 → x=±√18 → x=±3√2

라고 적었습니다. 제곱근을 이용해 두 값을 찾는 기준은 앞 문제와 같았지만, 이번에는 길이라는 조건이 붙어 있었습니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 방정식에서 얻은 두 값 중 실제 길이에 해당하는 값은 x=3√2입니다.

이때 중요한 점은 처음부터 x=3√2만 적어 방정식의 해를 빠뜨리는 것이 아닙니다. 먼저 x²=18에서 x=±√18을 모두 얻고, 문제에 제시된 길이 조건에 따라 가능한 값을 골라야 합니다. 즉, 제곱근을 취할 때 두 방향을 기록한 뒤 조건을 확인하는 순서가 유지되었습니다.

선운중학교가 포함된 생활권에서의 독립 확인

선운중학교가 포함된 생활권이나 광주선운휴먼시아, 선운리버프라임이 있는 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 이런 짧은 식의 첫 판단을 놓치지 않는 연습이 필요합니다. 선암동중3수학과외 수업의 마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

어떤 수 x에 대하여 x²=72이다. x의 값을 모두 구하고, 구한 값이 맞는지 확인하여라.

학생은 별도의 표시나 질문 없이 다음과 같이 풀이했습니다.

x²=72
x=±√72
x=±6√2
검산: (6√2)²=36×2=72, (-6√2)²=36×2=72
따라서 x=6√2 또는 x=-6√2

이번에는 양의 제곱근만 바로 답으로 쓰지 않았고, √72를 6√2로 바꾼 뒤 두 해를 각각 제곱해 원래 식의 오른쪽 72가 되는지 확인했습니다. 한쪽 해를 빠뜨리지 않는 기준을 새 문제에서도 스스로 선택했으며, 두 값의 검산 근거까지 설명했습니다.