선암동 중2수학과외

기준을 먼저 세우는 선암동 중2수학 과외 수업

선운중학교가 포함된 생활권에서 중2수학과외를 진행하던 중, 학생은 ‘최소 조건’을 일차부등식으로 바꾸는 문제에서 계산보다 앞선 한 문장 때문에 풀이가 흔들렸다. 선암동과외 수업의 문제는 다음과 같았다.

한 장에 120쪽인 노트를 여러 권 묶어 판매한다. 전체 쪽수가 500쪽 이상이어야 할 때, 노트는 몇 권 이상 필요한가?

학생은 먼저 노트의 권수를 x로 놓고, 한 권에 120쪽이라는 정보를 옆에 적었다. 이어 ‘500쪽 이상’이라는 문장에 밑줄을 긋고 120x□500이라고 써 두었다. 그런데 □ 안에 부등호를 넣기 전에 계산을 시작했다. 500을 120으로 나누어 약 4.16이라는 값을 얻은 뒤, “최소니까 4보다 크다”라고 판단해 x>4.16을 적었다.

계산보다 먼저 확인해야 할 말

풀이가 어긋난 최초의 선택은 나눗셈이 아니었다. 학생은 ‘500쪽 이상’에서 500쪽을 포함한다는 조건을 표시하지 않은 채, ‘최소’라는 말만 보고 부등호를 정했다. 이상은 기준값을 포함하므로 식은 120x≥500이어야 한다. 이 기준을 세운 뒤 양변을 120으로 나누면 부등호 방향은 그대로이고, x≥25/6이 된다.

노트의 권수는 자연수이므로 25/6보다 크거나 같은 가장 작은 권수는 5권이다. 여기서 새로운 풀이법을 여러 개 덧붙이지 않고, 한 가지 행동만 고쳤다. 학생은 문장의 경계값인 500을 원래 부등식에 직접 넣어 확인했다.

• 4권이면 120×4=480으로 500쪽에 못 미친다.
• 5권이면 120×5=600으로 500쪽 이상이다.

학생은 “500쪽도 조건에 들어가야 하므로 ≥를 썼고, 120은 양수라 나눌 때 부등호 방향을 유지한다”고 풀이 옆에 적었다. 계산 결과만 고친 것이 아니라, 처음 부등호를 선택한 이유를 문장과 연결해 다시 세운 것이다.

문장 모양이 달라진 문제에서 기준 고르기

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고, 이번에는 표와 문장을 함께 제시했다. 체험권의 남은 수량은 다음 조건을 만족해야 했다.

현재 수량이 18장이고, 하루에 3장씩 사용한다. 사용 후 남은 수량이 6장 이상이어야 한다. 이를 만족하는 사용 일수를 구하여라.

학생은 사용 일수를 n으로 표시하고 표를 만들었다.

• 처음 수량: 18장
• 사용한 수량: 3n장
• 사용 후 수량: 18-3n장

학생은 ‘6장 이상’이라는 조건을 식의 오른쪽에 먼저 옮겨 18-3n≥6이라고 썼다. 양변에서 18을 빼면 -3n≥-12가 되고, 음수인 -3으로 나눌 때 부등호 방향을 바꾸어 n≤4를 얻었다. 이번에는 음수 연산 직후 연필로 부등호 방향을 다시 표시했다.

학생은 n=4를 식에 대입해 18-12=6이므로 경계값을 포함한다고 확인했다. 반대로 n=5이면 18-15=3이어서 조건을 만족하지 않는다. ‘이상’이라는 표현을 단순히 큰 수로 읽지 않고, 경계값을 실제 식에 넣어 검산한 장면이었다.

도움 없이 다시 세운 첫 판단

검산 문제는 숫자와 상황을 바꾸어 제시했다. 어떤 통에 물이 42L 들어 있고, 한 번에 5L씩 덜어 낸다. 덜어 낸 뒤에도 17L 이상 남겨야 할 때, 덜어 낼 수 있는 횟수의 최대값을 구하는 문제였다. 학생은 설명을 기다리지 않고 횟수를 k로 정한 뒤, 남은 양을 42-5k로 나타냈다.

학생이 세운 첫 식은 42-5k≥17이었다. “남겨야 하는 양이 17L 이상이므로 17을 포함하는 ≥를 사용한다”고 말한 뒤, -5k≥-25, 따라서 k≤5라고 계산했다. 이어 k=5를 대입해 17L, k=6을 대입해 12L라고 직접 비교했다.

학생은 마지막 줄에 “최대 횟수는 5회이며, 경계값 17L을 만족하고 6회는 조건 아래로 내려가므로 더 큰 횟수는 불가능하다”고 적었다.

이처럼 선암동중2수학과외에서는 정답을 빠르게 구하는 것보다 ‘이상·이하’의 경계값을 식에 포함했는지, 음수로 나눈 뒤 부등호를 바꾸었는지를 풀이 과정 안에서 확인하도록 했다.