선암동 고2수학과외







표에서 시작하는 연속 조건 점검
다음 조각함수에서 모든 경계점의 연속성을 만족하도록 상수 a, b를 정하자.
| 구간 | 함수식 |
|---|---|
| x < 0 | x + 1 |
| 0 ≤ x < 1 | ax + b |
| x ≥ 1 | 3x + 2 |
경계점 x=0에서 얻는 식
왼쪽 극한은
limx→0- f(x) = 1
함수값은 f(0)=b이므로 연속 조건에서 b=1이다.
경계점 x=1에서 얻는 식
x=1에서 왼쪽 극한은 a+b이고, 오른쪽 함수값은 3·1+2=5이다.
따라서 a+b=5라는 두 번째 조건을 세운다.
b=1을 대입하면 a+1=5이므로 a=4이다.
오답 선택지의 누락 조건 찾기
한쪽 식만 사용한 풀이
“x=0에서만 연속이면 되므로 b=1이다”라는 풀이는 경계점 x=1을 확인하지 않았다. 이때 a는 정해지지 않으므로 두 경계에서 연속이라는 질문에 답할 수 없다.
반대로 x=1에서만 a+b=5를 구해도 b와 a를 각각 결정할 수 없다. 두 경계점 모두에서
좌극한 = 우극한 = 함수값
을 확인해야 한다.
최종 검증
a=4, b=1이면 가운데 식은 4x+1이다.
x=0에서는 왼쪽 극한과 함수값이 모두 1이고, x=1에서는 왼쪽 극한 5와 오른쪽 함수값 5가 같다. 따라서 구한 값은 (a,b)=(4,1)이며 함수는 두 경계점에서 연속이다.
선암동과외에서 이 유형을 판단할 때는 매개변수의 개수보다 먼저 경계점의 개수와 각 경계에서 필요한 조건을 빠짐없이 적는 것이 핵심이다.