석사동 중등수학과외

석사동중등수학과외, 14x+3=31과 14x+1=43에서 양변 연산과 대입 확인하기

일차방정식은 한 문제를 풀 수 있는지뿐 아니라, 숫자 조건이 바뀌었을 때 같은 원리를 스스로 적용하는지가 중요합니다. 여기서는 기본 식 14x+3=31과 상수항 및 오른쪽 수가 달라진 14x+1=43을 비교합니다. 두 식 모두 x를 구하는 문제이지만, 첫 식의 x=2를 다음 식에 그대로 옮길 수는 없습니다. 석사동중등수학과외에서는 답을 먼저 고르게 하기보다, 양변에 같은 연산을 했는지와 구한 값을 원래 식에 넣었을 때 양변이 실제로 같은지를 풀이 기록으로 확인합니다.

14x+3=31에서 +3을 없애는 이유

기본 과제에서는 왼쪽에 14x와 +3이 함께 있으므로, x가 든 항을 남기려면 +3을 없애야 합니다. 등식은 저울처럼 양쪽의 값이 같다는 뜻이므로 왼쪽에서만 3을 빼면 균형이 깨집니다. 양변에서 3을 빼어 14x+3-3=31-3, 즉 14x=28로 만듭니다. 이어서 14x는 14와 x의 곱이므로 양변을 14로 나누면 x=2입니다. 이때 ‘3을 반대편으로 넘겼다’고만 적기보다, 양변에 -3을 더했다는 표시를 같은 줄에 남기면 왜 부호가 바뀌어 보이는지 분명해집니다.

검산은 원래 식으로 합니다. x=2를 대입하면 왼쪽은 14×2+3=28+3=31이고, 오른쪽도 31입니다. 양변이 31로 같으므로 x=2는 식을 만족합니다. 기본 풀이를 설명할 수 있다면 개념을 전혀 모른다고 판단할 필요는 없습니다. 다만 다음 식에서 무엇이 달라졌는지 읽고, 첫 연산을 다시 선택하는지는 별도로 살펴볼 부분입니다.

14x+1=43에서는 바뀐 수에 맞춰 다시 계산하기

비교 과제는 14x의 계수는 그대로 14이지만, 왼쪽 상수항이 3에서 1로 바뀌고 오른쪽도 31에서 43으로 달라졌습니다. 따라서 기본 과제의 ‘양변에서 3을 뺀다’를 반복하는 것이 아니라, 현재 식의 +1을 없애기 위해 양변에서 1을 빼야 합니다. 14x+1-1=43-1이므로 14x=42, 양변을 14로 나누어 x=3입니다. x=2라는 이전 답은 계산의 출발점이 아니라 비교할 대상일 뿐입니다.

이 식도 x=3을 대입해 확인합니다. 14×3+1=42+1=43이고 오른쪽은 43이므로 양변이 같습니다. 반대로 x=2를 넣으면 왼쪽은 29, 오른쪽은 43이어서 같지 않습니다. 학생이 멈춘다면 등식 저울 그림에서 양쪽에 각각 -1을 적고, 연산표에 ‘왼쪽 +1을 없애려면 오른쪽에도 -1’이라고 같은 행에 표시하게 합니다. “두 식에서 달라진 조건은 무엇인가요?”라는 짧은 질문은 답을 알려 주기 위한 힌트가 아니라, 3과 31이 1과 43으로 바뀐 사실을 스스로 짚었는지 확인하는 데 사용합니다.

두 줄의 풀이 기록으로 다음 적용 범위 확인하기

확인은 정답만 비교하지 않습니다. 기본 식에서는 ‘양변 -3 → 14x=28 → ÷14’, 비교 식에서는 ‘양변 -1 → 14x=42 → ÷14’라고 쓴 두 줄을 나란히 놓습니다. 이렇게 보면 유지된 관계는 양변에 같은 연산을 한다는 점이고, 달라진 판단은 없앨 상수항과 그 결과라는 점이 드러납니다. 비교 과제는 먼저 학생이 첫 단계를 선택하도록 두고, 막힌 위치가 있을 때만 어떤 항을 없애려는지 묻는 순서가 알맞습니다.

다음에는 14x+1=43을 혼자 풀면서 x=3을 구한 뒤, 원래 식의 왼쪽과 오른쪽을 각각 계산해 43=43이라고 쓸 수 있는지 확인합니다. ‘기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건’을 3과 31, 1과 43으로 근거 있게 말하고, 대입 결과까지 제시하며 첫 연산을 스스로 고르면 다음 변형으로 넓힐 수 있습니다. 반대로 상수항은 표시했지만 양변에 같은 수를 적용하지 못한다면, 답을 반복하기보다 그 줄에서 어느 쪽 연산 표시가 빠졌는지부터 다시 확인합니다.