석사동 중1수학과외

표의 숫자를 식으로 옮기는 순간부터 확인한 정비례 관계

석사동과외 수업에서 학생은 우석중학교가 포함된 생활권의 문장제 자료를 풀다가 정비례 대응값 문제에서 멈췄다. 문제에는 “주스 2병의 가격은 3,000원이다. 같은 가격으로 주스 몇 병을 살 수 있는가?”와 함께 병 수와 가격을 나타낸 표가 제시되어 있었다.

학생이 적은 첫 식과 빠진 조건

학생은 표에서 병 수 2, 가격 3,000원을 읽고 공책에 2x=3000이라고 썼다. 이어서 “x는 병 하나의 가격”이라고 적고 1,500원을 구했다. 계산 자체는 맞았지만, 문제에서 요구한 것은 병 수와 전체 가격의 관계를 나타내는 식이었다. 학생은 표의 한 대응값을 바로 계산에 사용하면서 어떤 양을 x로 정할지 먼저 구분하지 않았다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 숫자를 계산하기 전에 두 양의 역할과 조건을 확인하지 않은 것이었다. 병 수를 x로 정한다면 가격은 병 수에 따라 달라지고, 한 병 가격은 1,500원이므로 전체 가격은 y=1500x로 나타나야 한다. “같은 가격으로”라는 조건은 병 수가 달라져도 한 병의 가격이 일정하다는 뜻이지, 병 수와 가격을 곱해 3,000으로 고정한다는 뜻이 아니었다.

표의 한 행을 식에 대입해 바로잡기

학생은 이미 구한 1,500원은 유지하고, x와 y의 뜻을 다시 적었다.

• x: 주스의 병 수
• y: 전체 가격
• 한 병 가격: 3,000÷2=1,500원
• 두 양의 관계: y=1,500x

그 뒤 표의 다른 행을 확인했다. 병 수가 4일 때 가격이 6,000원이라면 y=1,500×4=6,000이므로 식이 성립한다. 병 수가 5일 때도 y=1,500×5=7,500이 된다. 학생은 한 행만 보고 식을 정한 것이 아니라 표의 대응값을 식에 넣어 일정한 관계가 유지되는지 확인했다.

병 수가 1, 2, 4처럼 바뀌어도 가격을 병 수로 나눈 값이 1,500원으로 같으므로, 가격은 병 수에 1,500을 곱한 값이다.

문장을 표와 그래프로 바꾸며 질문의 방향을 바꾸다

다음 문제는 표현이 달랐다. “어떤 리본은 1m에 800원이다. 길이를 x m, 가격을 y원이라 할 때, 3,200원으로 살 수 있는 리본의 길이를 구하여라.” 학생은 이번에는 곧바로 숫자를 나누지 않고, 문장에서 정해진 두 양을 표로 옮겼다.

• 길이 x m: 1, 2, 3, 4
• 가격 y원: 800, 1,600, 2,400, 3,200

표를 바탕으로 y=800x를 세운 뒤, 질문이 가격이 아니라 길이를 묻는다는 점을 표시했다. 따라서 y에 3,200을 넣어 3,200=800x, x=4를 구했다. 이어 좌표를 (1,800), (2,1,600), (3,2,400), (4,3,200)처럼 읽어 보며 표의 각 대응값이 같은 식으로 연결되는지도 확인했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장을 표와 관계식으로 바꾸고 다시 질문에 맞는 미지수를 찾는 방식이었다.

힌트 없이 다시 세운 관계식

수업 후 제시된 새 문제는 “공책 3권의 값이 2,400원일 때, 공책 수와 가격 사이의 관계를 식으로 나타내고 7,200원으로 살 수 있는 공책 수를 구하라”는 내용이었다. 학생은 도움 없이 먼저 공책 수를 x, 가격을 y라고 정했다. 1권의 가격을 2,400÷3=800으로 구하고 y=800x를 작성했다. 가격 7,200원을 식에 넣어 7,200=800x, 따라서 x=9라고 설명했다.

마지막으로 9권의 가격을 다시 계산해 800×9=7,200임을 확인하고, “가격을 공책 수로 나눈 값이 처음 표와 새 문제에서 각각 일정해야 정비례 관계로 판단할 수 있다”고 말했다. 석사동중1수학과외에서 확인한 변화는 정답 숫자가 아니라, 조건을 먼저 선별하고 표의 대응값을 식에 연결한 뒤 질문에 맞게 다시 대입하는 풀이 과정이었다.