석사동 고등수학과외
석사동 고등수학과외에서 미적분을 공부할 때 학생들이 자주 멈추는 지점은 도함수와 정적분을 한 문제 안에서 같은 역할처럼 다루는 순간이다. 춘천고등학교나 춘천여자고등학교의 학습 자료를 복습하던 학생도 ∫₀⁹ f(x)dx가 보이면 곧바로 함수의 최대·최소를 구해야 한다고 생각하기 쉽다. 그러나 극대·극소는 도함수의 부호 변화와 함수값 비교로 판단하고, 정적분은 주어진 구간에서의 누적량을 계산하는 절차다.
정적분 기호를 보고 극값 문제로 바꾸지 않기
한 학생은 먼저 “최대와 최소를 구분해야 한다”고 말한 뒤 ∫₀⁹ f(x)dx를 살폈다. 이어 f′(x)=0인 지점을 찾으려 했지만, 정작 어떤 함수의 극값을 찾는지와 적분 구간이 무엇을 뜻하는지를 분리하지 않았다. 풀이 노트에는 정적분 기호 옆에 극대·극소 후보를 적고, 도함수의 부호표를 적분값처럼 해석한 흔적이 남았다. 첫 오류는 계산 실수보다 먼저 발생했다. 적분 구간 0부터 9를 극값 판단의 조건으로 사용한 것이다.
실제 식으로 오류의 위치를 복원하기
해설을 가린 상태에서 풀이를 거꾸로 복원했다. 먼저 f′의 부호가 바뀌는지 확인하고, 그다음 해당 점의 함수값을 계산하도록 순서를 고쳤다. 예를 들어 f(x)=x³-4x²+23x이면
f′(x)=3x²-8x+23
이다. 이 이차식의 판별식은 64-276=-212이므로 모든 실수에서 양수다. 따라서 함수는 계속 증가하며 극대·극소가 생기지 않는다. 여기서 ∫₀⁹ f(x)dx를 계산한다고 해서 극값이 만들어지는 것도 아니다. 적분은 별도의 질문으로 남는다.
다른 식 f(x)=x³-14x²+23x에서는 f′(x)=3x²-28x+23이고, 도함수의 두 근 사이에서 부호가 음수로 바뀐다. 작은 근에서는 증가에서 감소로 바뀌므로 극대, 큰 근에서는 감소에서 증가로 바뀌므로 극소가 된다. 같은 ‘세제곱함수’라도 도함수의 부호 변화가 달라질 수 있다는 점을 두 식을 나란히 놓고 확인했다.
극대·극소의 판정은 도함수 부호 변화로, 정적분은 지정된 구간의 누적량으로 처리한다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 판단하는 연습
교정 뒤에는 함수식을 그대로 반복하지 않고 조건을 바꾸었다. f(x)=x³-12x²+36x를 제시하고, 정적분 구간을 [1, 8]로 설정했다. 학생은 먼저 f′(x)=3x(x-8)을 구한 다음 1 짧은 확인 문제에서는 θ=90°일 때 sinθ=1을 이용해, 조건이 바뀌면 해당 식의 역할부터 다시 읽도록 했다. 기호가 등장했다는 이유로 앞에서 외운 절차를 그대로 적용하지 않고, 무엇을 묻는지 먼저 표시하는 훈련이었다. 도함수 부호만 맞게 적었다고 끝내지 않았다. 극대·극소 후보를 원식에 다시 대입해 주변 값의 크기를 비교했다. 증가에서 감소로 바뀐 점의 함수값이 양옆보다 큰지, 감소에서 증가로 바뀐 점의 값이 작은지 확인했다. 또 [1,8] 문제에서는 양 끝점의 함수값도 계산해 내부 극값과 비교했다. 이렇게 하면 도함수의 부호를 반대로 읽은 경우나 극값과 최댓값을 혼동한 경우를 찾아낼 수 있다. 정적분을 계산할 때는 원시함수를 미분해 다시 f(x)가 되는지 확인하는 방식으로 별도 검산했다. 아니다. 적분값을 묻는 문제라면 원시함수와 구간 대입이 중심이고, 극값을 묻는 경우에만 도함수 부호 변화를 확인한다. 아니다. 좌우에서 도함수 부호가 어떻게 바뀌는지 확인해야 한다. 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닐 수 있다. 구간에서의 최댓값·최솟값을 묻는다면 끝점의 함수값을 내부 후보와 비교한다. 국소적 극대·극소와는 구분해야 한다. 함수가 해당 범위에서 증가한다는 뜻이다. 내부에서 극대·극소가 생기는지 판단할 때 중요한 단서가 된다. 극값은 원식에 재대입해 주변 값과 비교하고, 적분은 구한 원시함수를 미분해 원래 함수가 나오는지 확인하면 된다.마지막에는 함수값으로 되돌아가 검산하기
자주 묻는 질문
정적분 구간이 있으면 반드시 극대·극소를 구하나요?
f′(x)=0이면 바로 극대나 극소인가요?
구간의 끝점도 극값에 포함되나요?
도함수가 항상 양수면 무엇을 알 수 있나요?
검산은 어떤 방식이 가장 적절한가요?