석사동 고3수학과외

조건을 읽기 전에 곱셈을 시작한 풀이

석사동 생활권에서 춘천고3수학과외 학습 기록을 정리하던 중, 학생의 확률 오답 한 줄이 눈에 들어왔다. 문제는 다음과 같았다.

주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개, 흰 공 1개가 있다. 공을 두 번 연속 꺼내되 첫 번째 공은 다시 넣지 않는다. 첫 번째 공이 빨간색이고, 두 번째 공이 파란색일 확률을 구하여라.

학생은 곧바로 빨간 공을 뽑을 확률을 3/6, 파란 공을 뽑을 확률을 2/6으로 적어 곱했다. 하지만 첫 번째 공을 다시 넣지 않는다는 조건을 계산에 반영하지 않아, 실제로는 허용되지 않는 상황까지 같은 분모로 처리한 것이다. 이때의 최초 오류는 계산 실수가 아니라 ‘두 번째 사건이 어떤 조건 아래에서 일어나는가’를 확인하지 않은 데 있었다.

사건과 조건을 분리해 읽기

풀이를 지우기 전에 학생은 문제의 문장을 두 종류로 나누어 표시했다. ‘첫 번째가 빨간색’과 ‘두 번째가 파란색’은 구하려는 사건이고, ‘다시 넣지 않는다’는 두 번째 확률의 표본공간을 바꾸는 조건이었다. 따라서 첫 식은

P(첫째 빨강이고 둘째 파랑) = P(첫째 빨강) × P(둘째 파랑 | 첫째 빨강)

으로 세웠다. 첫 번째 빨간 공이 실제로 빠져나가면 남은 공은 5개, 그중 파란 공은 여전히 2개이므로 결과는 3/6 × 2/5 = 1/5이다. 학생에게 요구한 교정은 빠진 조건을 첫 줄에 복원하는 것 하나였다. 그 뒤의 계산은 원래 하던 방식 그대로 두고, 두 번째 분모가 왜 5가 되는지만 말하게 했다.

후보를 검토할 때도 ‘첫째 빨강’이라는 사건을 만족하지 않는 경우를 섞지 않도록, 첫 번째 색이 파랑이나 흰색인 경우는 계산 후보에서 제외했다. 이렇게 해야 사건 자체와 사건이 일어난 뒤의 조건부 확률을 서로 바꾸어 쓰지 않게 된다.

숫자가 아닌 조건의 위치를 바꾸다

다음 적용에서는 보기와 사건의 순서를 바꾸었다.

상자에 숫자 카드 1, 2, 3, 4, 5가 한 장씩 있다. 두 장을 차례로 뽑아 첫 카드는 짝수이고 둘째 카드는 3보다 큰 수일 확률을 구하여라. 카드는 되돌려 놓지 않는다.

이번에는 학생이 먼저 조건을 찾았다. 첫째 카드가 짝수라는 사건은 2 또는 4이고, 그 뒤 남은 카드에서 둘째 카드가 3보다 큰 경우를 따져야 한다. 첫째 카드가 2일 때 둘째 카드 후보는 4, 5 두 장이고, 첫째 카드가 4일 때는 5 한 장이다. 따라서 곱셈정리를 사건별로 나누어

P(첫째 2)P(둘째>3 | 첫째 2) + P(첫째 4)P(둘째>3 | 첫째 4)

로 구성했다. 즉 1/5×2/4 + 1/5×1/4 = 3/10이다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 하나의 조건부 확률로 처리할 수 없도록 조건의 위치를 바꾼 문제였다. 학생은 사용하지 않은 카드와 조건을 옆에 따로 적어, 허용되지 않는 후보를 처음부터 제거했다.

표시를 지운 뒤에도 남은 판단

다음 날에는 표시와 해설을 모두 가린 채 새 문제를 제시했다.

6명의 학생 중 회장과 부회장을 차례로 한 명씩 뽑는다. 회장이 여학생일 확률이 1/2이고, 회장이 여학생으로 정해졌을 때 부회장도 여학생일 확률이 2/5라면, 두 직책이 모두 여학생일 확률은?

학생은 먼저 ‘회장이 여학생’이라는 사건과 ‘그 조건에서 부회장도 여학생’이라는 조건부 확률을 분리했다. 이어 문제에서 직접 주어진 두 값을 곱해 1/2×2/5=1/5를 얻었다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라, 첫 식을 왜 곱하는지 “두 직책이 모두 여학생인 사건은 회장이 여학생인 경우에 부회장도 여학생인 경우이므로 조건부 확률의 곱으로 나타낸다”고 설명했다.

마지막 검증에서는 사용하지 않은 정보가 있는지 스스로 확인하고, 분모가 전체 표본공간인지 조건이 반영된 표본공간인지 구분했다. 9월 모의평가 오답 기록과 비교했을 때도 예전처럼 모든 확률을 한 분모에 놓지 않고, 먼저 제한조건을 표시한 뒤 첫 식을 세우는 행동이 유지됐다. 춘천 지역에서 석사동과외를 찾는 학생에게도 이 사례는 계산 속도보다 사건과 조건을 분리하는 첫 판단이 확률 곱셈정리의 출발점임을 보여준다.