송천동 중등수학과외

송천동중등수학과외, 중심각 84°에서 원주각 42°의 근거를 표시로 확인하기

원의 성질에서는 답을 맞히는 것과 그 답이 성립하는 조건을 설명하는 일이 다릅니다. 원 O에서 작은 호 AB에 대한 중심각 ∠AOB가 84°이고, 점 P가 그 작은 호 밖의 원 위에 있을 때 ∠APB를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 42°입니다. 다만 84°를 단순히 2로 나누는 데서 멈추면, 다른 그림에서도 같은 계산을 적용할 위험이 있습니다. 송천동중등수학과외에서는 중심각과 원주각이 실제로 같은 호 AB를 보고 있는지, 원주각의 꼭짓점 P가 그 작은 호 밖에 있는지를 풀이 기록으로 확인하는 데 초점을 둡니다.

작은 호 AB와 꼭짓점의 위치를 먼저 연결합니다

∠AOB의 꼭짓점 O는 원의 중심이므로, 이 각은 작은 호 AB를 보는 중심각입니다. ∠APB의 두 변 PA, PB는 원 위의 A와 B를 잇고 있으므로 원주각이며, P가 작은 호 AB 밖에 있다는 조건 때문에 ∠APB도 작은 호 AB를 봅니다. 같은 호를 보는 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 절반이므로 ∠APB=84°÷2=42°가 됩니다. 여기서 ‘같은 호’는 말로만 확인하지 않고, 그림에서 작은 호 AB를 한 색으로 표시한 뒤 ∠AOB와 ∠APB의 양끝이 모두 A, B인지 확인하게 합니다. 이어서 꼭짓점 O는 중심, P는 원 위이며 작은 호 AB 밖이라는 위치도 구분해 적으면 어떤 각이 어느 호를 보는지 드러납니다.

맞힌 답은 유지하고, 식에 빠진 이유를 보완합니다

이 과제에서 42°를 썼다면 결과는 고칠 필요가 없습니다. 대신 풀이에 ‘84÷2=42’만 적혀 있다면, 나누기 2가 가능한 이유를 보완합니다. 예를 들어 ‘∠AOB와 ∠APB는 작은 호 AB를 보고, P는 그 호 밖의 원 위에 있으므로 원주각 ∠APB는 중심각 84°의 절반’이라고 덧붙일 수 있습니다. 짧은 문장 대신 호 AB의 색칠, A·B를 향한 두 변의 표시, 꼭짓점 위치 표시로 나타내도 됩니다. “중심각과 원주각이 같은 호를 보고 있나요?”라는 질문에는 두 각의 변이 A와 B에서 끝난다는 표시를 근거로 답하게 합니다. 또 “원주각의 꼭짓점은 해당 작은 호 밖에 있나요?”에는 P의 위치를 가리켜 설명하게 합니다. 이렇게 하면 공식 이름을 기억했는지보다 적용 조건을 구분했는지 확인할 수 있습니다.

다른 호를 보는 원주각은 값부터 옮기지 않습니다

비교 문제에서 ‘다른 호를 보는 원주각에도 42°를 바로 쓸 수 있을까?’라고 묻는다면, 호의 관계가 제시되기 전에는 값을 확정할 수 없습니다. 원주각의 크기는 자신이 보는 호에 대응하는 중심각 또는 호의 크기에 따라 달라지므로, 작은 호 AB가 아닌 다른 호를 본다면 84°와 연결된다는 보장이 없습니다. 따라서 이 경우의 판단은 ‘42°’가 아니라 ‘호의 관계를 확인하기 전에는 확정할 수 없다’입니다. 며칠 뒤에는 기존 정답을 가린 뒤 기본 문제를 다시 풀어 보게 하고, 작은 호 AB 표시와 P의 위치, 84°÷2=42°의 이유를 기록 없이도 복원하는지 확인합니다. 이어 비교 문제에서 먼저 어느 호를 보는지 표시하고 값이 주어졌는지 살핀다면 다음 단계로 넘어갈 수 있습니다. 답만 다시 말하거나 다른 호에도 42°를 곧바로 쓰면, 호와 꼭짓점 위치를 구분하는 연습을 더 확인합니다.