송천동 중1수학과외
송천동 중1수학과외에서 이어진 나이 관계 방정식 풀이
신영통현대타운1단지와 반달마을이 있는 생활권에서 중1 수학 문제를 다시 풀던 학생은 나이 관계를 식으로 나타내는 과정에서 자주 멈췄다. 전주화정중학교와 전주중학교가 포함된 생활권의 학교 프린트를 살펴보며, 단순히 예제의 순서를 기억하는 대신 누구의 나이를 미지수로 정하고, 문장의 어떤 조건을 등식으로 바꾸는지를 한 줄씩 확인했다. 송천동과외 수업에서도 이 부분을 중심에 두었다.
답보다 먼저 확인한 한 줄
문제는 “누나의 나이는 동생의 나이보다 4살 많고, 3년 후 두 사람의 나이의 합은 30살이다. 현재 동생의 나이를 구하여라”였다. 학생은 종이에 곧바로 x+4+x=30이라고 적은 뒤, 3년 후라는 조건을 식에 반영하지 않은 채 계산하려 했다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 실수가 아니었다. 현재 동생의 나이를 x로 정했다면 현재 누나의 나이는 x+4이지만, 문제에서 합을 묻는 시점은 3년 후라는 점을 확인하지 않은 것이었다. 따라서 학생이 먼저 해야 할 일은 숫자를 계산하는 것이 아니라, 미지수의 뜻과 조건이 적용되는 시점을 나누어 적는 일이었다.
현재 동생의 나이: x살
현재 누나의 나이: x+4살
3년 후 동생: x+3살
3년 후 누나: x+7살
그 뒤에야 “3년 후 두 사람의 나이의 합이 30”이라는 문장을 (x+3)+(x+7)=30으로 옮겼다. 괄호 안의 두 항이 각각 누구의 3년 후 나이인지 말로 확인하고, 양변에서 10을 빼서 2x=20, x=10을 얻었다. 앞서 적었던 식은 지우기보다 옆에 남겨 두고, 두 식이 서로 다른 시점을 나타낸다는 점을 비교했다.
같은 개념을 다른 모습으로 바꾸어 보기
다음 문제에서는 문장과 조건의 순서를 바꾸었다. “아버지와 아이의 현재 나이의 합은 52살이다. 4년 후 아버지는 아이보다 28살 많다. 아이의 현재 나이는 얼마인가?”라는 질문이었다. 학생은 이번에는 아버지를 x로 정하려 했지만, 먼저 두 나이의 관계가 고정된 차이인지 확인했다.
아이의 현재 나이를 x살로 두면 아버지는 x+28살이다. 이 차이는 4년 후에도 그대로이므로, 합 조건에 맞춰 x+(x+28)=52를 세웠다. 4년 후라는 표현이 두 사람 모두에게 똑같이 적용되므로 나이 차이에는 4를 따로 더하거나 빼지 않는다고 설명했다. 2x+28=52, 2x=24, x=12가 되었고 아버지는 40살로 정리했다.
이번에는 식을 바로 쓰지 않고 표처럼 정리했다.
- 아이: 현재 x, 4년 후 x+4
- 아버지: 현재 x+28, 4년 후 x+32
- 4년 후 나이 차: (x+32)-(x+4)=28
표의 마지막 줄을 통해 차이가 변하지 않는 이유를 확인한 뒤, 현재 나이의 합 조건으로 돌아가 식을 세웠다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 처음에는 ‘몇 년 후의 합’에서 출발했다가 이번에는 ‘현재의 합과 변하지 않는 나이 차’에서 출발하도록 문제의 읽는 방향을 바꾼 것이다.
분수와 소수로 바뀐 조건에서도 식을 세우다
“동생의 현재 나이를 x살이라 할 때, 형의 나이는 동생 나이의 1.5배이다. 2년 후 두 사람의 나이의 합은 25살이다”라는 문제에서는 학생이 1.5를 보고 계산부터 하려 했다. 수를 먼저 처리하지 않고, 문장을 그대로 식으로 옮겼다.
현재 형의 나이는 1.5x살이고, 2년 후에는 각각 x+2, 1.5x+2가 된다. 따라서 (x+2)+(1.5x+2)=25이다. 소수 계산을 피하려고 양변을 2배하면 2x+4+3x+4=50, 5x=42, x=8.4가 나온다. 나이는 소수로도 표현될 수 있으므로 결과만 보고 틀렸다고 판단하지 않고, 원래 조건에 대입했다.
동생은 8.4살, 형은 12.6살이며 2년 후에는 10.4살과 14.6살이다. 합은 25살이고, 형의 현재 나이 12.6은 동생의 8.4에 1.5를 곱한 값이다. 학생은 “미지수의 뜻을 먼저 정하고, 각 시점의 나이를 만든 다음, 합이나 차라는 문장을 등식으로 옮겼기 때문에 이 식이 나왔다”고 설명했다.
힌트 없이 다시 세운 나이 식
수업 끝에는 칠판의 풀이를 가린 뒤 새 조건을 제시했다. “언니는 동생보다 6살 많다. 5년 후 언니의 나이는 동생 나이의 1.25배가 된다. 동생의 현재 나이를 구하여라.” 학생은 도움 없이 동생의 현재 나이를 x살로 정하고 언니를 x+6살로 적었다.
5년 후의 두 나이를 각각 x+5, x+11로 만든 뒤 x+11=1.25(x+5)라고 세웠다. 양변을 4배하여 4x+44=5x+25, x=19를 얻었다. 현재 언니는 25살이고, 5년 후에는 동생 24살, 언니 30살이므로 30은 24의 1.25배이다. 처음 조건의 ‘6살 많다’도 25-19=6으로 다시 확인했다.
송천동중1수학과외에서 확인한 핵심은 정답 숫자가 아니라, 새로운 문장에서도 미지수의 의미와 조건의 시점을 먼저 표시하고 그 결과를 원래 등식에 되돌려 넣는 과정이었다.