하기동 중등수학과외

하기동중등수학과외, 27·36 직각삼각형에서 빗변 45의 근거 확인하기

두 직각변의 길이가 27, 36인 직각삼각형에서 빗변을 구하는 문제의 답은 45입니다. 이미 답을 맞혔다면 계산을 다시 반복하기보다, 왜 45가 빗변인지와 식의 각 항이 어느 변을 뜻하는지를 확인하는 편이 중요합니다. 특히 직각의 맞은편 변이 빗변이라는 조건을 그림의 모양만 보고 넘기지 않고, 직각 표시와 연결해 설명할 수 있어야 합니다. 하기동중등수학과외에서는 맞힌 결과를 오답으로 바꾸지 않으면서도 정답을 지탱하는 조건을 풀이 기록에서 분명히 짚어 보는 방식으로 피타고라스 정리를 다룹니다.

직각의 맞은편 변을 먼저 정하고 식을 세우는 이유

삼각형의 한 각에 직각 표시가 있으면, 그 직각과 마주 보는 변이 가장 긴 변인 빗변입니다. 27과 36은 직각을 이루는 두 변이므로, 이 두 수의 제곱을 더한 값이 빗변의 제곱이 됩니다. 빗변을 c라고 표시하면 27²+36²=c²입니다. 27²=729, 36²=1296이므로 c²=729+1296=2025이고, c=45입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 c=-45가 아니라 45를 답으로 적습니다. 정답 근거를 확인할 때에는 ‘27과 36을 더했다’가 아니라 ‘직각변 두 개의 제곱의 합이 직각의 맞은편 변의 제곱’이라고 연결해 말하거나 표시하는지 살핍니다. 정사각형 넓이 그림을 사용하면 27²와 36²의 넓이를 합친 것이 빗변 위 정사각형의 넓이 45²와 같다는 관계도 볼 수 있습니다.

45라는 답보다 45²=2025를 원식에 대입해 확인하기

계산 절차를 기억해 답을 낸 경우와, 필요한 조건을 알고 식을 세운 경우는 풀이 기록에서 구별됩니다. 답을 가린 뒤 직각 표시 옆의 두 변에 27, 36을 적고, 그 반대편 변에 c를 적게 합니다. 이어서 “직각의 맞은편 변은 어느 변인가요?”라고 짧게 묻고, c가 그 변이라는 이유를 표시나 식으로 복원하게 합니다. 검산은 45를 원식에 넣어 27²+36²=45²인지 확인하는 것입니다. 실제로 729+1296=2025, 45²=2025이므로 양변이 같습니다. 이 확인은 단지 답이 같은지 보는 것이 아니라, 빗변을 미지수로 놓았다는 판단과 제곱 관계가 모두 맞는지 확인합니다. 말이 짧더라도 직각 표시, 빗변 표시, 식 중 하나로 관계를 정확히 보인다면 그 표현을 바탕으로 다음 설명을 이어 갈 수 있습니다.

빗변이 주어졌을 때는 더하기가 아니라 빼기가 필요한 까닭

비교 문제에서는 빗변이 45이고 한 직각변이 27일 때 다른 직각변을 구합니다. 이번에는 모르는 변을 b라고 하면 27²+b²=45²입니다. 빗변 45의 제곱을 먼저 한쪽에 유지한 뒤, b²만 남기기 위해 27²를 이항하여 b²=45²-27²=2025-729=1296으로 계산합니다. 따라서 b=36입니다. 기본 문제와 같은 피타고라스 정리를 쓰지만, 모르는 변이 빗변일 때는 두 직각변의 제곱을 더하고, 모르는 변이 직각변일 때는 빗변의 제곱에서 알려진 직각변의 제곱을 뺍니다. 검산도 27²+36²=45²로 되돌려 확인할 수 있습니다. 며칠 뒤에는 정답을 보지 않은 상태에서 두 문제의 직각 표시와 빗변을 먼저 표시하게 하고, 각각 어떤 식을 썼는지와 대입 결과를 확인합니다. 45와 36을 말하는 것만으로 마치지 않고, 두 문제에서 미지수의 위치에 따라 더하기와 빼기가 달라진 근거를 스스로 보여 줄 수 있는지를 다음 학습의 기준으로 삼습니다.