하기동 중2수학과외

수직선에서 부등호의 의미를 다시 읽은 수업

하기동 생활권의 송림마을 4단지와 관평도서관 인근에서 이어진 중2수학과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 식과 수직선으로 연결하는 문제를 풀었다. 문제는 −2x+3≤7을 풀고 그 해를 수직선에 나타내는 것이었다. 학생은 먼저 양변에서 3을 빼서 −2x≤4라고 적고, 양변을 −2로 나누어 x≤−2라고 계산했다.

계산 결과를 수직선에 옮길 때 학생은 −2 위치에 점을 찍은 뒤 오른쪽으로 화살표를 그렸다. “작거나 같으니까 왼쪽”이라고 말하면서도, 손으로는 반대 방향을 표시한 장면이었다. 답을 적기 전에 식을 다시 보던 학생은 부등식의 방향과 화살표가 서로 맞지 않는다는 점을 발견하고 풀이 과정을 거꾸로 살펴보았다.

결과보다 먼저 확인한 선택

오류가 시작된 곳은 답을 쓰는 마지막 단계가 아니었다. 학생은 −2로 나누는 순간 부등호 방향을 바꾸지 않고 그대로 유지했다. 따라서 정확한 식은 −2x≤4가 아니라 양변을 음수 −2로 나눌 때 방향이 바뀐 x≥−2였다. 수직선에서 오른쪽을 향한 화살표가 나온 것은 계산 결과와 일치했지만, 학생이 적은 부등호와는 일치하지 않았다.

음수로 곱하거나 나누면 수의 순서가 뒤집히므로 부등호 방향도 함께 바꾼다. 그다음 경계값이 포함되는지는 ≤, ≥를 보고 점의 모양을 정한다.

교정은 풀이 전체를 다시 외우게 하는 방식이 아니었다. 학생이 이미 해낸 양변에서 3을 빼는 과정은 그대로 두고, −2로 나누는 줄에만 표시를 붙였다. −2x≤4에서 양변을 −2로 나누는 장면을 수직선의 방향과 연결해, x≥−2로 고쳐 썼다. 이어 경계값 −2는 부등호에 등호가 있으므로 포함된다고 확인하고, −2에 닫힌 점을 찍은 뒤 오른쪽에 화살표를 그렸다.

그래프와 문장 사이를 오간 적용

다음 문제는 식이 바로 주어지지 않았다. “어떤 수 x에서 5를 뺀 값이 −3보다 크거나 같다”라는 문장을 읽고 부등식과 수직선을 함께 완성하는 문제였다. 학생은 먼저 x−5≥−3이라고 식을 세웠다. 양변에 5를 더해 x≥2를 얻은 뒤, 2에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 색칠했다.

이번에는 표현을 바꾸어 제시했다. 수직선에는 −4에 열린 점이 있고 왼쪽으로 화살표가 뻗어 있었으며, 이 그림이 나타내는 부등식을 쓰라는 문제였다. 학생은 점이 열려 있으므로 −4는 해에 포함되지 않고, 화살표가 왼쪽이므로 −4보다 작은 수라고 설명했다. 답을 x<−4로 적은 뒤, −5를 대입하면 그림의 해에 들어가고 −4를 대입하면 들어가지 않는다고 검산했다.

숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장에서 식을 세우는 방향과 수직선에서 부등식을 읽는 방향을 서로 바꾸어 확인한 장면이었다. 학생은 “닫힌 점은 등호가 있는 경우, 열린 점은 등호가 없는 경우”라고 말하는 데서 멈추지 않고, 화살표가 어느 쪽인지까지 함께 읽었다.

도움 없이 재현한 최종 확인

수업의 끝에는 새로운 표현이 제시되었다. 4−3x>10의 해를 수직선에 나타내라는 문제였다. 학생은 4를 먼저 빼서 −3x>6을 만들고, −3으로 나눌 때 음수이므로 부등호가 반대로 바뀐다고 스스로 말하며 x<−2를 얻었다. −2에는 등호가 없으므로 열린 점을 찍고 왼쪽으로 화살표를 그렸다.

학생은 여기서 멈추지 않고 −3을 대입해 4−3(−3)=13이 10보다 큰지 확인했다. −3은 해에 포함되고, −2를 대입하면 10이 되어 ‘10보다 크다’에 맞지 않으므로 경계값은 포함되지 않는다고 설명했다. 처음의 오류였던 음수로 나눌 때의 부등호 방향을 새 문제에서도 스스로 먼저 확인하고, 점의 모양과 화살표 방향까지 원래 부등식으로 검산한 것이다.

이와 같은 장면은 대전하기중학교가 포함된 생활권에서 진행되는 대전하기동과외에서도 중요한 확인 기준이 된다. 특히 대전하기동중2수학과외에서는 식을 계산한 뒤 수직선에 옮기는 순서만 반복하지 않고, 문장·식·그래프가 서로 같은 해를 가리키는지 학생의 말과 표시로 확인한다.