하기동 중1수학과외

하기동 중1수학과외에서 이어진 문자식 풀이 기록

송림마을 3단지와 관평도서관이 있는 생활권에서 진행한 수업에서 학생은 문자식의 모양이 달라질 때 항의 종류와 부호를 놓치는 모습을 보였다. 대전하기중학교가 포함된 생활권의 문제를 다루면서도, 핵심은 계산 속도가 아니라 식을 읽는 순서와 각 항의 근거를 확인하는 일이었다. 그래서 하기동과외에서는 한 문제를 여러 표현으로 바꾸어 같은 판단을 반복하도록 구성했다.

한 줄의 정리에서 드러난 최초의 어긋남

문제는 “어떤 수를 x라 할 때, 그 수보다 3 큰 수와 그 수의 2배를 더한 식을 간단히 나타내라”였다. 학생은 먼저 답안지에 x+3+2x를 썼다. 여기까지는 문장을 식으로 옮긴 과정이 맞았다. 이어서 식을 정리하며 x+3+2x=3x라고 적고, 숫자 3도 x가 붙은 항처럼 함께 묶었다.

결과가 틀어진 지점은 마지막 계산이 아니라, 정리하기 전에 각 항의 종류를 확인하지 않은 판단이었다. 학생은 앞에서 만든 식의 모양을 그대로 따라가며 항을 한 덩어리로 보았고, 3과 x가 붙은 항을 구별하지 않았다. 이 한 줄을 다시 표시하게 하자 학생은 식을 x, 3, 2x로 끊어 읽고, 각 항 아래에 ‘문자 없음’, ‘x 포함’, ‘x 포함’이라고 적었다.

항을 나눈 뒤 식을 다시 세우다

교정은 여러 방법을 덧붙이지 않고, 빠뜨린 확인 하나에 집중했다. 학생은 먼저 숫자만 있는 항과 x가 있는 항에 서로 다른 밑줄을 그었다. x+3+2x에서 x와 2x만 같은 종류이므로 둘을 묶어 x+2x+3으로 순서를 바꾸었다. 그다음 x가 한 개 있는 항과 두 개 있는 항을 합쳐 3x+3을 얻었다. 숫자 3은 x가 없으므로 그대로 남겨야 한다는 이유도 옆에 한 줄로 적었다.

“항을 먼저 나누고, x가 붙은 항끼리만 합친 뒤 숫자 항은 따로 둔다.”

이후 학생은 간단한 값으로 식을 확인했다. x에 2를 넣으면 처음 식은 2+3+2×2=9이고, 정리한 식은 3×2+3=9였다. 두 결과가 같으므로 식의 모양만 바뀌었을 뿐 나타내는 값은 같다는 점을 직접 확인했다. 단순히 답을 고친 것이 아니라, 처음 쓴 식에서 어떤 항을 왜 옮겼는지까지 설명한 과정이었다.

문장이 괄호식으로 바뀌었을 때

다음 문제는 숫자만 바꾼 반복 문제가 아니었다. “한 묶음에 x개씩 들어 있는 연필 3묶음과 낱개 4자루가 있다. 전체 연필 수를 식으로 나타내고 정리하라”는 문장을 제시했다. 학생은 먼저 3x+4라고 쓴 뒤, 이번에는 항을 3x와 4로 구분했다. 앞선 문제에서 사용한 식의 모양을 복사하지 않고, 문장에서 ‘묶음’과 ‘낱개’를 각각 하나의 항으로 옮긴 것이다.

표현을 바꾸어 “x개짜리 묶음 3개와 4자루에서 1자루를 뺀 수”를 식으로 쓰게 하자 학생은 3x+(4-1)을 적었다. 괄호 안의 4와 1을 먼저 확인한 뒤 3x+3으로 정리했다. 질문의 순서도 바꾸어 “전체 수가 3x+3일 때, x가 나타내는 것은 무엇인가?”라고 묻자 학생은 x를 임의의 답으로 계산하지 않고, “한 묶음에 들어 있는 연필 수”라고 문장으로 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후 다시 제시한 식은 5a-2+a+6이었다. 이번에는 도움을 주지 않고 학생이 풀이 첫 줄부터 작성하게 했다. 학생은 먼저 5a, -2, a, 6으로 항을 나누고, a가 붙은 항은 5a+a=6a, 숫자 항은 -2+6=4라고 따로 적었다. 따라서 결과를 6a+4로 정리했다.

학생은 이어서 a에 1을 넣어 원래 식을 계산했다. 5-2+1+6=10이고, 정리한 식도 6+4=10이라고 확인했다. 특히 “마이너스 2는 숫자 항이지만 부호까지 함께 보아야 하며, a가 없는 항은 a가 있는 항과 합칠 수 없다”고 스스로 설명했다. 문장식, 괄호식, 항의 순서가 달라져도 첫 줄에서 항을 나누고 부호를 확인하는 판단을 재현한 것이다.

이처럼 하기동중1수학과외에서는 정리된 답만 확인하지 않고, 학생이 식을 처음 읽는 순간 무엇을 근거로 항을 분류했는지 살핀다. 마지막 검산에서도 원래 식과 정리한 식에 같은 값을 넣어 결과가 일치하는지 확인하며, 식의 표현이 달라져도 같은 개념으로 다시 풀 수 있는지를 기준으로 풀이를 마무리했다.