하기동 중3수학과외

식의 겉모양보다 마지막에 남는 항을 보는 중3수학

하기동과외에서 중3 학생의 방정식 풀이를 살펴보던 중, 식의 모양 때문에 일차방정식과 이차방정식을 바꾸어 판단하는 장면이 나왔습니다. 대전하기중학교가 포함된 생활권이나 송림마을 4단지와 관평도서관 인근 생활권에서 문제를 접할 때도, 표현이 낯설다는 이유만으로 종류를 정하면 안 됩니다. 이번에는 양변을 한쪽으로 정리한 뒤 실제로 남는 최고차항만 확인하는 데 집중했습니다.

처음 표시한 것은 맞았지만, 판단 기준이 흔들렸다

첫 문제는 다음과 같았습니다.

3x(x-2)+5=3x²-7

학생은 왼쪽에 x²이 보이자 곧바로 “이차방정식”이라고 적었습니다. 이어서 왼쪽을 전개하여

3x²-6x+5=3x²-7

까지 계산했습니다. 여기까지의 전개는 맞았습니다. 하지만 양변에 모두 있는 3x²을 아직 비교하지 않은 채, 처음 보인 x²만으로 종류를 결정한 것이 문제였습니다. 양변을 한쪽으로 모으면

3x²-6x+5-3x²+7=0

이므로

-6x+12=0

만 남습니다. 최종식에는 x²항이 없습니다. 따라서 이 식은 이차방정식이 아니라 일차방정식입니다.

가장 먼저 바로잡은 한 가지

오류가 시작된 지점은 계산 결과가 아니라 정리하기 전 보이는 항으로 방정식의 종류를 결정한 것이었습니다. 그래서 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 종류를 말하기 전에 양변을 한쪽으로 모으는 행동 하나만 추가했습니다.

학생은 같은 식에 다음 표시를 붙였습니다.

• 왼쪽의 3x²와 오른쪽의 3x²에 같은 표시를 한다.
• 양변을 정리해 서로 없어지는 항인지 확인한다.
• 정리한 식에서 가장 높은 차수의 항을 읽는다.

이 기준으로 다시 보면 3x²항은 소거되고 -6x+12=0이 남으므로 일차방정식이라는 결론이 분명해집니다. 이미 정확했던 전개 과정은 그대로 두고, 판단 시점만 뒤로 옮긴 것입니다.

표현을 바꾸어도 같은 기준을 적용하기

다음 문제는 앞의 식과 배열을 달리했습니다.

2(x+1)²-2x²=10

학생은 이번에는 제곱을 먼저 전개했습니다.

2(x²+2x+1)-2x²=10
2x²+4x+2-2x²=10

양변을 정리하면

4x-8=0

입니다. 처음 식에는 제곱 표현이 들어 있지만, x²와 -2x²가 사라져 최고차항은 x입니다. 따라서 이것도 일차방정식입니다. 앞의 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, 한쪽의 곱셈식과 제곱괄호가 함께 나타난 형태에서 소거 여부를 판단한 사례입니다.

반대로 조건이 식의 오른쪽에 흩어져 있는 경우도 확인했습니다.

5-2x=x²+1

양변을 한쪽으로 옮기면

-x²-2x+4=0

이 됩니다. 이번에는 x²항이 남아 있으므로 이차방정식입니다. “제곱이 보인다”가 아니라 “정리한 뒤 제곱항이 남는다”가 판단 근거입니다.

힌트 없이 확인한 새 풀이 기록

며칠 뒤 하기동중3수학과외 학습에서 별도의 표시나 질문 없이 다음 식을 제시했습니다.

(x-3)(x+3)=2x²-7x+6

학생은 먼저 왼쪽을 계산하여

x²-9=2x²-7x+6

으로 바꾸고, 양변을 한쪽으로 모았습니다.

0=x²-7x+15

또는

-x²+7x-15=0

이라고 쓸 수 있으므로 x²항이 남는다고 설명했습니다. 이어 “최고차항이 x²이기 때문에 이차방정식이고, 처음에 곱셈 형태였다는 사실은 최종 판단의 기준이 아니다”라고 말했습니다. 부호를 바꾸어 쓴 두 식도 서로 같은 관계를 나타내며, 어느 쪽이든 x²항이 사라지지 않는다는 점을 확인했습니다.

마지막에는 답을 구하는 데 앞서 종류를 다시 점검했습니다. 전개 후 양변을 정리했을 때 최고차수가 2이고, x²의 계수가 1이므로 일차식으로 낮아지지 않는다는 것이 검산 근거였습니다. 낯선 표현에서도 끝까지 정리한 뒤 남는 최고차항을 스스로 선택한 것입니다.