도안신도시 중등수학과외

도안신도시중등수학과외, 이등변삼각형 58°에서 밑각 61°의 근거 확인하기

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC, ∠A=58°일 때 나머지 두 각을 구하는 문제는 계산 결과만 보면 간단합니다. ∠B와 ∠C는 각각 61°입니다. 다만 중등 수학의 서술형 풀이에서는 61°라는 답보다 “왜 두 각을 같게 놓을 수 있는가”가 먼저 분명해야 합니다. 기본 문제의 답을 맞힌 상태라면 오답으로 바꾸기보다, 사용한 조건과 성질을 풀이 문장으로 복원하는 데 초점을 둡니다.

AB=AC가 밑각을 같게 만드는 출발점

먼저 조건·근거·결론을 나누어 적습니다. 조건에는 ‘AB=AC’, 즉 두 변의 길이가 같다는 내용을 씁니다. 이 조건을 만족하는 삼각형은 꼭짓점 A를 기준으로 한 이등변삼각형이므로, 같은 길이의 두 변 AB와 AC의 맞은편 각인 ∠C와 ∠B가 같습니다. 따라서 ∠B=∠C라고 둘 수 있습니다. 여기서 “그림상 두 변이 비슷하게 보인다”는 말은 근거가 될 수 없습니다. 그림은 배치를 보여 줄 뿐 길이를 보장하지 않기 때문입니다. 풀이에는 ‘AB=AC이므로 이등변삼각형의 두 밑각은 같아 ∠B=∠C’처럼 조건과 성질을 연결해 쓰는 것이 좋습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 AB와 AC에 같은 표시를 하고, 그 맞은편인 ∠C와 ∠B에 같은 호 표시를 하여 관계를 드러낼 수도 있습니다.

58°를 뺀 뒤 2로 나누는 계산의 의미

두 밑각의 크기를 x°라고 하면 삼각형의 내각의 합이 180°이므로 58°+x°+x°=180°입니다. 이를 58°+2x°=180°으로 정리하면 2x°=122°, x=61가 됩니다. 그래서 ∠B=61°, ∠C=61°입니다. ‘180°에서 58°를 빼고 2로 나눈다’는 절차는 외울 수 있지만, 실제 뜻은 꼭짓각을 제외한 122°를 서로 같은 두 밑각이 나누어 가진다는 것입니다. 검산도 식에 다시 넣어 58°+61°+61°=180°인지 확인합니다. 동시에 두 밑각이 같은 이유는 계산 결과 61과 61이 우연히 같아서가 아니라 처음의 AB=AC 조건에서 출발했다는 점을 다시 짚습니다. 정답을 가린 뒤 “밑각이 같다는 근거는 무엇인가?”라고 물었을 때 AB=AC와 이등변삼각형의 성질을 풀이 기록에 연결할 수 있는지가 확인할 내용입니다.

길이 조건을 지우면 같은 그림도 결론이 달라집니다

비교 문제에서는 ‘이등변삼각형’이라는 설명과 AB=AC 표시, 두 변이 같음을 나타내는 눈금을 모두 없앱니다. 꼭짓점 이름과 ∠A의 크기만 주어지고, 그림의 모양은 길이나 각의 같음을 보장하지 않는다고 가정합니다.

비교 문제에서는 AB=AC라는 조건만 삭제하고 그림은 그대로 둡니다. 이때 ∠A=58°라는 정보가 남아 있다고 해도, ∠B와 ∠C가 같다고 둘 근거는 사라집니다. 삼각형의 내각의 합으로는 ∠B+∠C=122°까지 알 수 있지만, 두 각이 각각 몇 도인지는 정할 수 없습니다. 예를 들어 한 각이 60°이고 다른 각이 62°여도 합은 122°이며, 61°와 61°일 수도 있습니다. 따라서 밑각이 같다는 결론과 각각 61°라는 결론은 더 이상 확정할 수 없습니다. 다음 확인에서는 기본 문제에서 AB=AC→∠B=∠C→58°+2x°=180°의 흐름을 스스로 적고, 비교 문제에서는 사라진 조건 때문에 ∠B=∠C를 쓸 수 없다고 설명하는지 봅니다. 답을 다시 말하는 것보다 어느 조건이 어떤 결론을 가능하게 했는지 표시할 수 있을 때, 수학적 서술과 증명의 다음 단계로 이어갈 수 있습니다.