도안신도시 고1수학과외
도안신도시 고1수학과외, 다항식의 나눗셈에서 답의 범위를 점검한 사례
도안신도시에서 고1수학과외를 받는 한 학생은 다항식의 나눗셈 문제를 풀며 계산 자체보다 기호의 역할을 혼동했다. 몫과 나머지를 구하는 과정은 진행했지만, 문제에서 허용한 값의 범위를 확인하지 않아 특정 값에서만 맞는 결론을 일반적인 답처럼 적었다.
계산보다 먼저 확인해야 했던 조건
학생은 나머지정리를 이용해 나머지를 구한 뒤, 그 결과를 모든 값에 적용했다. 그러나 나눗셈식에서 나누는 식이 0이 되는 값은 제외해야 하므로, 문자에 허용되는 범위를 먼저 살펴야 했다. 이 조건을 빠뜨린 것이 최초 오류였다.
나눗셈 결과를 쓰기 전에 나누는 식이 0이 되는 값이 있는지 확인한다.
수업에서는 풀이 첫 줄에 ‘나누는 식이 0이 아니어야 함’이라는 전제를 짧게 적게 했다. 이후 나머지에 값을 대입할 때도 해당 전제를 벗어나지 않는지 확인하도록 하자, 학생은 계산 결과와 답의 적용 범위를 구분하기 시작했다.
기호의 역할을 바꾸어 읽어 본 적용
다음 문제에서는 같은 다항식의 나눗셈을 직접 계산하지 않고, 몫을 다른 문자로 나타낸 식에서 나머지의 조건을 찾게 했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라 몫과 나머지의 위치를 바꾼 표현이었다. 학생은 먼저 나누는 식의 영점이 허용되지 않는다는 조건을 표시한 뒤, 그 범위 안에서만 나머지정리를 적용했다.
- 나누는 식이 0이 되는 값은 답의 범위에서 제외
- 나머지정리는 나누는 식의 근을 대입할 때 사용하는 관계
- 계산 결과와 그 결과가 성립하는 조건을 함께 기록
처음 보는 표현에서의 검증
마지막에는 유형명이 없는 문제를 제시하고, 학생이 직접 나눗셈식을 정리하게 했다. 학생은 후보 답을 고른 뒤 나누는 식이 0이 되는 값을 대입해 답의 적용 가능성을 확인했다. 특수한 값에서 우연히 성립하는 식과 조건을 만족하는 일반적인 식을 구별하면서, 계산만 맞추는 것이 아니라 답의 허용 범위까지 설명할 수 있게 되었다.
관평도서관에서 복습할 때에도 학생은 풀이 옆에 제외되는 값을 따로 적는 습관을 유지했다. 다항식의 나눗셈에서는 몫과 나머지를 구하는 절차뿐 아니라, 그 결과를 사용할 수 있는 조건까지 확인해야 한다는 점을 스스로 적용했다.