도안신도시 중2수학과외

부등호의 방향을 바꾸는 순간을 놓치지 않도록

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답이 어긋나기 전, 학생이 적어 둔 한 줄

학생은 다음 식을 보고 공책 왼쪽에 계수와 상수를 나누어 표시했다.

−3x＋5＞14

먼저 양변에서 5를 빼야 한다고 적고, 오른쪽에는 14−5＝9를 계산했다. 그런데 왼쪽을 −3x로 만드는 과정에서 항의 부호를 바꾸지 않은 채 “−3x＞9”라고 옮겨 썼다. 이어서 양변을 3으로 나누어 x＞3이라고 정리하려 했다. 최종 답만 보면 부등호 방향을 잘못 판단한 것처럼 보이지만, 실제로 가장 먼저 어긋난 순간은 5를 이항하면서 왼쪽의 +5를 −5로 처리하지 않은 때였다.

학생은 풀이 옆에 “9가 나왔으니 양수, 따라서 x도 3보다 크다”라고 적었다. 이 문장은 계산 결과를 확인한 것이 아니라, 계수의 부호를 보지 않고 숫자의 부호만으로 방향을 정한 흔적이었다.

양변에 한 연산을 동시에 기록하기

교정에서는 이미 맞게 계산한 오른쪽 14−5＝9는 그대로 두고, 이항한 항의 부호만 다시 살폈다. 식 아래에 양변에 적용한 연산을 나란히 쓰게 했다.

−3x＋5＞14
−3x＋5−5＞14−5
−3x＞9

그 다음 단계에서 학생은 “−3으로 나누면 부등호 방향을 바꾼다”는 표시를 식의 양쪽에 함께 붙였다.

(−3x)÷(−3) ＜ 9÷(−3)
x＜−3

여기서 기준은 여러 문장으로 늘리지 않고 하나만 남겼다. 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향을 바꾼다. 학생은 경계값 −3을 원래 식에 대입해 −3×(−3)＋5＝14를 계산했다. 원래 식이 “14보다 크다”가 아니라 “14보다 크다”와 같아지는 값임을 확인하고, 등호가 포함되지 않은 ＞에서는 −3을 답에 넣을 수 없다고 말로 설명했다. 따라서 해는 x＜−3이었다.

식이 아닌 문장과 표로 바꿔 다시 판단하기

같은 유형을 숫자만 바꾸지 않고 질문의 모양을 바꾸었다. 이번에는 “어떤 수 x에 4를 곱한 뒤 7을 뺀 값이 9 이하”라는 문장을 식으로 옮기게 했다. 학생은 먼저 4x−7≤9라고 썼고, 양변에 7을 더해 4x≤16을 만들었다. 이때는 양의 수 4로 나누므로 부등호 방향을 유지해 x≤4라고 정리했다.

다음 문제는 식 대신 표로 제시했다. 왼쪽 칸에는 x의 값 −2, 0, 3, 5를, 오른쪽 칸에는 −2x＋1의 값을 적고 “−5보다 크지 않은 x의 범위”를 찾게 했다. 학생은 무작정 표의 수를 고르지 않고 먼저 −2x＋1≤−5를 세웠다. 1을 빼면 −2x≤−6, 음수 −2로 나눌 때 방향을 바꾸어 x≥3이라고 설명했다. 표에서 x＝3일 때 값이 −5가 되어 조건에 포함되고, x＝5일 때는 −9로 조건을 만족한다는 것도 확인했다. 질문이 ‘크지 않은’이므로 등호가 포함된다는 판단까지 이어졌다.

힌트 없이 세운 첫 판단과 검산

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−5(2x−1)＜20

학생은 곧바로 괄호를 정리해 −10x＋5＜20이라고 썼다. 이어 양변에서 5를 빼고 −10x＜15를 만든 뒤, “−10으로 나누므로 방향을 반대로 바꾼다”고 스스로 설명하며 x＞−3/2를 얻었다. 이번에는 경계값을 포함하지 않는다고 판단한 이유도 “부등호가 ＜라서 −3/2에서는 양변이 같아지기 때문”이라고 말했다.

검산에서는 범위 안의 값 −1과 범위 밖의 값 −2를 각각 대입했다. x＝−1이면 원래 식의 왼쪽은 15로 20보다 작고, x＝−2이면 25로 조건을 만족하지 않았다. 학생은 첫 줄에서 계수의 부호를 확인하고, 음수로 나누는 순간 방향을 바꾸며, 경계값을 원래 부등식에 넣어 포함 여부를 확인하는 과정을 도움 없이 재현했다.