도안신도시 중3수학과외

도안신도시 중3수학과외, 인수분해에서 해를 결정하는 순간

도안신도시과외 수업에서 한 학생은 대전관평중학교가 포함된 생활권의 학습 자료에 나온 이차방정식 문제를 풀다가 다음과 같은 풀이를 적었습니다. 관평도서관 인근 생활권에서 자주 볼 수 있는 학습 장면처럼, 문제를 읽자마자 계산부터 시작한 것이 특징이었습니다.

x²-7x+12=0

(x-3)(x-4)=0

따라서 x=3

인수분해 자체는 정확했습니다. x²-7x+12에서 곱이 12이고 합이 -7인 두 수 -3, -4를 찾아 (x-3)(x-4)로 바꾼 것도 맞았습니다. 그러나 풀이 기록을 살펴보니 학생은 마지막 줄을 쓰기 전에 두 인수가 각각 0이 될 수 있다는 점을 확인하지 않았습니다. 예제에서 먼저 보았던 값 하나를 그대로 결론처럼 적은 것입니다.

식이 맞아도 해를 하나만 쓰면 생기는 문제

이차방정식을 인수분해로 풀 때 핵심은 인수분해한 뒤 각 인수를 0으로 놓는 과정입니다. 위 식은 다음처럼 이어져야 합니다.

(x-3)(x-4)=0

x-3=0 또는 x-4=0

x=3 또는 x=4

학생의 최초 판단은 계산 결과가 틀린 것이 아니라, 곱이 0인 식에서 한 인수만 해로 선택한 것이었습니다. 따라서 이미 맞게 한 인수분해를 다시 고치는 대신, 인수분해 뒤에 두 경우를 모두 확인하는 기준을 세우는 것이 적절했습니다.

풀이 종이에 추가한 한 줄

교정할 때는 풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 인수분해가 끝난 직후 다음 한 줄을 먼저 적게 했습니다.

“곱이 0이므로 각 인수를 차례로 0으로 둔다.”

학생은 같은 문제에서 이미 적은 (x-3)(x-4)=0을 그대로 두고,

x-3=0 → x=3
x-4=0 → x=4

를 나란히 기록했습니다. 이 교정은 부호나 계수를 새로 다루는 방법이 아니라, 처음 놓친 ‘두 인수 모두 확인하기’만 직접 보완한 것입니다. 마지막에는 두 값을 원래 식에 넣어 보았습니다.

x=3일 때 9-21+12=0이고, x=4일 때 16-28+12=0이므로 두 값 모두 원래 방정식을 만족했습니다.

질문 방향이 달라진 인수분해 문제

다음 시간에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식의 모양과 질문을 바꾸었습니다.

어떤 직사각형의 넓이는 40㎠이고, 가로를 x㎝라 할 때 세로는 (x-3)㎝이다. 가로와 세로가 모두 양수일 때 x의 값을 구하여라.

가로와 세로의 곱이 넓이이므로

x(x-3)=40

x²-3x-40=0

으로 정리합니다. 곱해서 -40, 더해서 -3이 되는 두 수는 5와 -8이므로

(x-8)(x+5)=0

입니다. 학생은 이전처럼 곧바로 하나를 고르지 않고,

x-8=0 또는 x+5=0

x=8 또는 x=-5

라고 두 해를 모두 적었습니다. 이어서 문제의 조건인 가로와 세로의 양수 조건을 확인했습니다. x=8이면 세로가 5로 양수이지만, x=-5이면 가로가 음수이고 세로도 -8이므로 조건에 맞지 않습니다. 따라서 이 문제의 답은 x=8입니다. 여기서 -5를 계산 실수로 지우지 않고, 인수분해로 얻은 해를 조건과 비교해 제외한 점이 중요했습니다.

힌트 없이 다시 꺼낸 기준

일주일 뒤 도안신도시중3수학과외의 독립 확인 문제로 다음 식을 제시했습니다.

2x²-x-6=0을 인수분해하여 모든 해를 구하여라.

학생은 먼저 곱이 -12가 되도록 식을 나누어 생각하고,

2x²-x-6=(2x+3)(x-2)

라고 적었습니다. 이어서 스스로 “두 인수를 각각 0으로 둔다”고 말하며

2x+3=0 또는 x-2=0
x=-3/2 또는 x=2

를 구했습니다. 마지막으로 원래 방정식에 대입해 x=2일 때 8-2-6=0, x=-3/2일 때 2×9/4+3/2-6=0임을 확인했습니다. 예제 순서나 별도 힌트 없이 인수분해한 뒤 두 인수를 모두 살피고, 얻은 값을 원래 식에 대입하는 흐름을 스스로 재현한 것입니다.