신흥동 중등수학과외

신흥동중등수학과외, 길이 10·11과 사이각 60°로 SAS 합동을 확인하는 방법

두 삼각형에 각각 길이 10, 11인 두 변과 그 사이각 60°가 주어졌을 때, 두 삼각형은 합동입니다. 이 결론은 세 조건의 수가 같아서가 아니라, 길이 10인 변과 길이 11인 변이 대응하고 그 두 변 사이에 놓인 각이 모두 60°이기 때문에 나옵니다. 정답을 맞힌 뒤에도 “60°가 왜 사이각인가?”를 풀이의 표시와 연결하지 못하면, 조건의 위치가 바뀌는 문제에서 판단이 흔들릴 수 있습니다. 신흥동중등수학과외 수업에서는 답을 다시 말하게 하기보다 학생이 쓴 두 줄에서 어떤 근거가 생략되었는지 살펴보며 합동 조건을 확인합니다.

길이와 각의 위치를 함께 읽어야 하는 이유

삼각형 ABC에서 AB=10, AC=11, ∠BAC=60°라고 하고, 다른 삼각형 DEF에서 DE=10, DF=11, ∠EDF=60°라고 생각해 보겠습니다. ∠BAC는 꼭짓점 A에서 만나는 변 AB와 AC의 사이에 있습니다. 마찬가지로 ∠EDF는 DE와 DF가 만나는 꼭짓점 D의 각입니다. 따라서 AB↔DE, AC↔DF, ∠BAC↔∠EDF처럼 두 변과 그 사이각이 대응합니다. 이 세 조건은 SAS 합동 조건을 만족하므로 △ABC≡△DEF라고 판단합니다. 여기서 60°는 단순히 주어진 각 하나가 아니라, 이미 확인한 두 변을 연결하는 각이라는 점이 핵심입니다.

풀이에는 대응 꼭짓점을 같은 색으로 표시한 뒤, “AB=DE=10, AC=DF=11, ∠BAC=∠EDF=60°”처럼 적어 볼 수 있습니다. 색표에서 A와 D는 길이 10, 11의 두 변이 모두 만나는 꼭짓점이므로, 두 각이 사이각임이 그림에서도 드러납니다. “각이 60°이므로 합동”이라고만 쓰는 문장은 충분하지 않습니다. 어느 두 변 사이의 60°인지 밝혀야 SAS라는 판단이 완성됩니다.

정답을 가리고 판단 근거를 복원하기

기본 문제의 답이 맞았더라도 먼저 결론을 가린 채 “60°의 양옆에 있는 변은 무엇인가?”를 확인합니다. 학생은 10, 11이라고 쓰거나 해당 변에 표시할 수 있고, 이어서 “두 삼각형에서 같은 두 변의 끼인각이 60°이므로 SAS 합동”이라고 정리할 수 있습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 꼭짓점 A, D에 표시를 하고 두 변을 순서대로 연결하는 그림이나 식으로 근거를 보여도 됩니다.

이때 두 변만 같아도 모양이 하나로 정해진다고 생각하지 않는지 함께 살핍니다. 예를 들어 두 변의 길이가 10과 11로 고정되어도, 그 사이각이 60°가 아닌 다른 값이면 세 번째 변의 길이와 삼각형의 벌어진 정도가 달라질 수 있습니다. 즉, 두 변이라는 정보만으로는 하나의 삼각형을 확정할 수 없습니다. 기본 문제에서 각의 위치를 표시하는 행동은 외운 조건을 확인하는 데서 끝나지 않고, 왜 각 조건이 필요한지를 드러내는 역할을 합니다.

사이각을 삭제한 비교 문제에서 결론 바꾸기

이번에는 60°라는 조건을 삭제하고 길이 10, 11인 두 변만 남깁니다. 두 삼각형이 합동인지 묻는다면 정답은 “확정할 수 없음”입니다. 한 삼각형의 사이각을 60°로 두고 다른 삼각형의 사이각을 80°처럼 다르게 만들 수 있기 때문입니다. 두 변의 길이는 각각 10, 11로 같지만 두 변이 벌어진 정도가 달라져 모양도 달라집니다. 따라서 SAS를 적용할 세 번째 조건인 ‘그 사이각의 같음’이 없습니다.

확인은 기본 문제와 비교 문제의 풀이를 나란히 놓고 할 수 있습니다. 기본 문제에는 두 변의 길이와 사이각 60°가 모두 표시되어 △ABC≡△DEF라는 결론이 가능하고, 비교 문제에는 각의 크기가 빠져 있어 서로 다른 사이각을 만들 수 있다는 이유를 적어야 합니다. 다음에는 도움 없이 두 풀이에서 결론이 달라지는 줄을 표시해 보게 합니다. 60°가 두 변 사이의 각임을 근거와 함께 설명하고, 각을 지웠을 때 합동을 확정할 수 없는 이유를 스스로 제시하는지를 확인하면 됩니다.