신흥동 고1수학과외
신흥동 고1수학과외, 합집합과 교집합에서 조건을 놓치지 않는 풀이
문제에 여러 조건이 한꺼번에 제시되자 학생은 원소를 하나씩 계산해 답을 만들려 했다. 그러나 두 조건에 동시에 해당하는 항목을 각각 세면서 중복을 포함했고, 합집합과 교집합의 의미가 뒤섞였다.
겹치는 원소를 먼저 분리한 순간
이번에는 계산을 시작하기 전에 각 조건을 집합으로 나누고, 두 집합에 함께 들어가는 부분만 따로 표시했다. 합집합은 두 집합 중 하나라도 포함하는 원소 전체이고, 교집합은 양쪽에 공통으로 속한 원소라는 기준을 고정하자 불필요하게 같은 원소를 두 번 세는 일이 줄었다.
합집합은 전체 범위를 넓히고, 교집합은 공통 범위만 남긴다.
예를 들어 전체집합을 신흥동의 한 학급 학생으로 두고, 수학 동아리 학생을 A, 과학 동아리 학생을 B라 하자. 두 동아리에 모두 참여한 학생은 A∩B에 속하고, 적어도 한 동아리에 참여한 학생은 A∪B에 속한다. 따라서 두 집합의 원소 수를 더할 때는 공통 원소를 한 번 빼야 한다.
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
조건의 표현을 바꾸어 다시 적용하기
다음 문제에서는 학생 명단 대신 도서 대출 기록을 표로 제시하고, ‘수학 책 또는 과학 책을 빌린 사람’과 ‘두 종류를 모두 빌린 사람’을 각각 물었다. 학생은 표의 행을 그대로 더하지 않고, ‘또는’은 합집합, ‘모두’는 교집합으로 바꾸어 해석했다. 같은 숫자를 반복 계산하는 대신 질문의 표현이 가리키는 집합 연산을 먼저 선택한 것이다.
- ‘적어도 하나’ 또는 ‘어느 한쪽’은 합집합으로 해석한다.
- ‘동시에’, ‘모두’, ‘공통’은 교집합으로 해석한다.
새로운 자료에서 답을 확인한 방법
마지막에는 원소 목록이 아닌 벤다이어그램을 보고 답을 판단했다. 두 원이 겹치는 부분을 교집합으로, 두 원 안쪽 전체를 합집합으로 읽은 뒤 문제의 문장과 답의 범위가 일치하는지 확인했다. 지역이나 자료의 형태가 달라져도 집합의 포함 관계를 기준으로 판단할 수 있는지 점검하면서 풀이를 마쳤다.