신흥동 중2수학과외

부등호의 방향이 바뀌는 순간을 추적한 중2수학과외 수업

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“어떤 수에 -3을 곱한 값이 12보다 작거나 같을 때, 그 수의 범위를 구하여라.”

답을 쓰기 전, 한 줄에서 생긴 판단

학생은 미지수를 x로 두고 -3x≤12라고 옮겼다. 여기까지는 정확했다. 이어서 양변을 -3으로 나누며 x≤-4라고 적었다. 계산 결과 -4를 얻은 뒤, 학생은 원래 식에 -4를 넣어 12≤12가 성립한다고 확인했지만, -5를 넣었을 때는 15≤12가 성립하지 않는다는 사실을 확인하지 않고 답을 마무리하려 했다.

풀이가 틀어진 최초의 판단은 -3으로 나누는 순간에도 부등호 방향을 그대로 둔 것이었다. 경계값 -4가 포함되는지와, 경계의 어느 쪽이 해인지가 한꺼번에 섞인 상태였다. 단순히 답만 고치면 다음 문제에서도 같은 선택을 반복할 수 있어, 학생이 적어 둔 계산 과정은 그대로 두고 그 한 줄만 다시 살폈다.

음수 연산 직후에만 표시하기

학생의 식 위에 다른 부분을 지우지 않고, -3으로 나눈 줄 옆에 작은 화살표를 그렸다. 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 수의 대소 관계가 반대로 바뀌므로 부등호도 함께 뒤집어야 한다는 점을 그 줄에 직접 표시했다.

-3x≤12에서 양변을 -3으로 나누면 x≥-4가 된다. 등호가 포함된 ≤는 방향을 바꿔도 등호가 남아 있으므로 경계값은 여전히 해에 포함된다. 따라서 학생은 ‘-4를 얻었으니 ≤’라고 결정하지 않고, ‘음수로 나눴으니 방향을 반대로, 등호는 그대로’라고 문장으로 적었다.

그다음 -4와 -5를 각각 원래 부등식에 대입했다. -4에서는 -3×(-4)=12이므로 경계에 해당했고, -5에서는 15≤12가 거짓이었다. 반대로 -3을 넣으면 9≤12가 참이었다. 학생은 해가 -4보다 큰 쪽이라는 것을 대입으로 확인하면서, 경계값 확인과 해의 방향 확인을 서로 다른 절차로 구분했다.

조건의 위치를 바꾼 문제에서 다시 세운 첫 판단

같은 수를 다시 계산하는 대신, 표현을 바꾼 문제를 제시했다.

“수직선에서 -2를 포함하고 그보다 오른쪽에 있는 수 x를 부등식으로 나타내고, 이를 양변에 -5를 곱한 형태로 바꾸어라.”

학생은 먼저 수직선에서 -2에 닫힌 점을 표시하고 오른쪽을 색칠했다. 그래서 첫 식을 x≥-2로 적었다. 이후 양변에 -5를 곱할 때 무심코 -5x≥10이라고 쓰려다가, 곱셈 기호 옆에 음수 표시를 먼저 붙이고 부등호를 뒤집어 -5x≤10으로 수정했다. 이때 숫자 계산보다 먼저 ‘음수 곱셈인가’를 판단했다.

이번에는 질문의 방향도 달랐다. 주어진 부등식 -5x≤10에서 x의 범위를 다시 말하라고 하자, 학생은 양변을 -5로 나누면서 x≥-2라고 답했다. -2를 대입하면 등호가 성립하고, 0을 대입하면 0≤10이 참이므로 오른쪽 영역이 맞다고 설명했다. -3을 대입하면 15≤10이 거짓이어서 왼쪽은 해가 아니라고 덧붙였다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에는 다음 문장을 별도의 표시 없이 풀게 했다.

“어떤 수의 4배보다 7 작은 수가 -9 이상일 때, 그 수의 범위를 구하여라.”

학생은 먼저 4x-7≥-9라고 식을 세우고, 양변에 7을 더해 4x≥-2를 만들었다. 이번에는 양수 4로 나누는 단계이므로 부등호 방향을 유지하여 x≥-1/2라고 적었다. 이어서 -1/2을 넣어 등호가 성립하는지 확인하고, 0을 넣었을 때 -7≥-9가 참인지 검산했다. -1을 넣으면 -11≥-9가 거짓이므로 경계 왼쪽은 제외된다고 스스로 설명했다.

학생은 마지막 줄에 “음수로 곱하거나 나눌 때만 방향을 바꾸고, 등호 포함 여부는 그대로 둔다. 경계값과 경계의 양쪽 수를 원래 부등식에 넣어 확인한다.”라고 적었다. 신흥동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 결과가 아니라, 새 식을 보자마자 음수 연산 여부와 경계 포함 여부를 먼저 판단하고 그 이유까지 검산으로 재현한 과정이었다.