신흥동 중3수학과외

신흥동 생활권에서 확인한 인수분해의 순서

신흥 SK뷰아파트와 신흥마을주공아파트가 있는 생활권에서 중3 수학 문제를 살펴보다가, 학교 프린트에 표시된 인수분해 풀이를 함께 확인했습니다. 신흥동과외에서도 이 순서를 분명히 구분하는 것이 핵심입니다.

한 줄의 표시에서 시작된 풀이

문제는 다음과 같았습니다.

6x²-24를 인수분해하여라.

학생은 식을 보자마자 공책에 다음처럼 적었습니다.

6x²-24=(3x)²-4²=(3x-4)(3x+4)

겉으로는 차의 제곱 공식처럼 보이지만, 첫 등식부터 원래 식과 같지 않습니다. (3x)²-4²는 9x²-16이므로 6x²-24가 아닙니다. 학생은 6과 24에 공통으로 들어 있는 6을 표시하지 않았고, 각 항을 제곱꼴로 바꾸려는 판단을 먼저 했습니다.

풀이 기록을 다시 보니 학생은 ‘두 항의 차’라는 조건 하나만 보고 공식 적용을 선택했습니다. 그러나 공식에 들어가기 전에는 두 항에 공통으로 묶을 수가 있는지, 묶은 뒤 남는 식이 공식의 모양인지 차례로 확인해야 합니다. 이 문제에서 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 과정이 아니라 공통인수를 확인하기 전에 공식 적용을 결정한 것이었습니다.

바꾼 것은 첫 선택 하나

교정할 때 풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 식을 읽는 첫 줄만 바꾸었습니다. 학생은 각 항에 공통으로 들어 있는 6을 먼저 동그라미로 표시했습니다.

6x²-24=6(x²-4)

이제 괄호 안의 x²-4를 보며 두 항이 각각 제곱이고 가운데 부호가 뺄셈인지 확인했습니다. x²=x·x, 4=2²이므로 차의 제곱 공식 조건에 맞습니다.

6(x²-4)=6(x-2)(x+2)

처음 풀이에서 맞았던 계산을 억지로 살리는 대신, 잘못된 공식 선택 직전으로 돌아가 공통인수를 먼저 묶는 행동만 수정했습니다. 중요한 것은 ‘공식처럼 보인다’가 아니라 ‘공통인수를 묶은 뒤 공식의 형태가 남는가’였습니다.

모양이 달라진 확인 문제

다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 항의 순서와 부호를 바꾼 식을 제시했습니다.

12-3y²를 인수분해하고, 왜 그 순서로 변형했는지 쓰시오.

학생은 먼저 3을 공통인수로 보고 다음과 같이 적었습니다.

12-3y²=3(4-y²)

여기서 바로 (2-y)(2+y)라고 쓰면 원래 식의 부호가 맞지 않습니다. 4-y²는 앞항이 양수인 차의 제곱이므로 실제로는

3(2-y)(2+y)

가 됩니다. 학생은 이번에는 항의 순서가 y²-4처럼 보이지 않아도, 괄호 안에서 어느 제곱이 먼저 놓였는지와 뺄셈 방향을 확인했습니다. 공통인수 3을 먼저 꺼낸 뒤 공식 조건을 판단했으므로, 처음 문제와 표현은 달라도 같은 기준을 적용한 것입니다.

• 두 항에 함께 들어 있는 수나 문자를 먼저 찾는다.
• 공통인수를 묶은 뒤 괄호 안의 식을 다시 읽는다.
• 두 항이 제곱인지, 가운데 부호가 뺄셈인지 확인한다.
• 인수의 순서를 바꿀 때 전체 부호가 달라지지 않았는지 살핀다.

힌트 없이 남은 한 문제

수업 마지막에는 식의 조건을 말로 알려 주지 않고 다음 문제만 남겼습니다.

-5a²+45를 인수분해한 뒤, 전개하여 원식과 비교하시오.

학생은 먼저 두 항의 공통인수 5를 찾았지만, 첫 항의 부호까지 고려해 -5(a²-9)로 묶었습니다. 이어 a²-9가 a²-3²이므로

-5(a-3)(a+3)

이라고 설명했습니다. 마지막으로 전개하여

-5(a²-9)=-5a²+45

를 확인했습니다. “처음에 -5를 묶어 괄호 안 첫항을 양수로 만들었고, 그 뒤에야 두 제곱의 차인지 판단했다”고 풀이 이유도 말했습니다.