신흥동 고2수학과외







z부호는 원점수의 부호가 아니라 평균과의 위치를 나타낸다
표준정규분포 문제를 풀 때 가장 먼저 확인할 것은 원점수가 양수인지 음수인지가 아니라, 평균보다 큰지 작은지입니다. 신흥동과외 수업에서는 학생이 첫 식을 선택한 순간부터 풀이를 되짚으며 z값의 의미를 점검합니다.
양수 원점수인데 z가 음수인 경우
어떤 시험의 평균이 70점, 표준편차가 10점이고 학생의 원점수가 65점이라고 하겠습니다.
z = (x - 평균) ÷ 표준편차 = (65 - 70) ÷ 10 = -0.5
원점수 65점은 양수이지만 평균 70점보다 작으므로 z값은 음수입니다. 여기서 음수는 점수가 음수라는 뜻이 아니라 평균보다 아래쪽에 있다는 뜻입니다.
표준정규분포에서 부호 읽기
| z값 | 평균과의 위치 |
|---|---|
| z < 0 | 평균보다 아래 |
| z = 0 | 평균과 같음 |
| z > 0 | 평균보다 위 |
따라서 z = -0.5는 평균에서 표준편차의 0.5배만큼 아래에 있다는 의미입니다. 원점수의 크기나 부호만 보고 판단하면 안 됩니다.
중간식을 복원하며 오류 찾기
잘못된 해석과 올바른 해석
학생이 “65점은 양수이므로 z도 양수여야 한다”고 말했다면, 원점수와 표준화 점수를 같은 기준으로 해석한 것입니다. 표준화에서는 평균을 기준으로 위치를 바꾸어 표현합니다.
반대로 평균이 70점이고 원점수가 75점이라면
z = (75 - 70) ÷ 10 = 0.5
이때는 평균보다 높으므로 z가 양수입니다. 두 사례를 비교하면 부호는 원점수 자체가 아니라 평균과의 차이에서 결정된다는 점이 분명해집니다.
최종 검증
- 평균보다 작은 원점수는 z값이 음수이다.
- 평균과 같은 원점수는 z값이 0이다.
- 평균보다 큰 원점수는 z값이 양수이다.
- 표준편차는 양수이므로 z의 부호는 x - 평균의 부호와 같다.
대전고3수학과외에서 이 유형을 확인할 때도 먼저 평균과 원점수의 대소를 비교한 뒤 식을 세우면 부호 오류를 줄일 수 있습니다.