남동구 중등수학과외

남동구중등수학과외, 산점도 마지막 점을 바꾸어 전체 경향 확인하기

산점도와 상관관계에서는 점 몇 개가 위로 향한다고 해서 자료 전체가 계속 증가한다고 말할 수는 없습니다. 예를 들어 자료쌍 (1,15), (2,16), (3,17), (4,18)을 좌표평면에 표시하면 x가 1씩 커질 때 y도 1씩 커집니다. 네 점은 오른쪽 위 방향으로 나란히 놓이므로 양의 상관관계가 있다고 설명할 수 있습니다. 다만 두 값이 함께 변한다는 관찰만으로 x가 y의 원인이라고 결론 내릴 수는 없습니다. 이번 학습에서는 기본 산점도의 판단을 유지하면서, 마지막 점이 바뀐 경우 무엇을 다시 살펴야 하는지 확인합니다.

네 점이 보여 주는 관계와 말할 수 없는 결론

기본 자료에서는 x의 값이 1, 2, 3, 4로 증가하고, 이에 대응하는 y의 값도 15, 16, 17, 18로 증가합니다. 점들을 모두 표시한 뒤 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 향하는 경향선을 그어 보면, x가 큰 쪽일수록 y도 큰 쪽에 모이는 모습이 드러납니다. 따라서 답은 ‘양의 상관관계가 있다’입니다. 여기서 중요한 것은 ‘양의 상관관계’가 자료의 함께 변하는 방향을 나타내는 말이라는 점입니다. 예컨대 y−x를 계산하면 모두 14이므로 이 네 자료에서는 y=x+14라는 일정한 관계도 확인됩니다. 그러나 이 식이 보인다고 해도, x의 변화가 반드시 y의 변화를 일으켰다고 판단할 근거는 아닙니다. 원인과 결과를 말하려면 자료가 만들어진 과정, 다른 영향을 준 요인 등 추가 정보가 필요합니다.

마지막 점 (4,14)이 바꾸는 전체 판단

비교 자료에서는 앞의 세 점 (1,15), (2,16), (3,17)은 그대로 두고 마지막 점만 (4,14)로 바꿉니다. x는 3에서 4로 증가했지만 y는 17에서 14로 3만큼 감소합니다. 따라서 y의 나열은 15, 16, 17, 14가 되어 마지막에서 증가가 이어지지 않습니다. ‘x가 커질수록 y가 계속 증가한다’는 단조 증가 판단은 깨집니다. 앞의 세 점만 보고 오른쪽 위 방향이라고 말한 뒤 마지막 점을 빼놓는 것은 전체 자료를 설명하는 풀이가 아닙니다. 이때 (4,14)를 다른 점과 구분해 표시하고, 네 점을 모두 포함한 경향선을 살펴보게 합니다. 일부 점은 증가해 보여도 전체를 완전한 증가 관계로 단정할 수 없다는 것이 비교 과제의 답입니다. 남동구중등수학과외 수업에서도 이처럼 바뀐 좌표 하나가 판단 문장을 어떻게 바꾸는지, 식과 그래프를 나란히 두고 확인할 수 있습니다.

풀이의 두 줄을 비교하며 다음 판단을 확인하기

풀이 기록에는 먼저 기본 자료에 대해 ‘네 점 모두 오른쪽 위로 이동하므로 양의 상관관계’라고 적고, 비교 자료에는 ‘마지막 점에서 x는 증가하지만 y는 17에서 14로 감소하므로 계속 증가하지 않는다’라고 적게 할 수 있습니다. 두 줄을 나란히 보면 바뀐 조건은 마지막 점의 y좌표가 18에서 14로 달라졌다는 사실이며, 유지되는 조건은 x좌표가 1부터 4까지라는 점입니다. 학생이 비교 과제를 스스로 시작할 때는 정답을 먼저 알려 주기보다 마지막 점까지 표시했는지, 증가 여부를 네 값 모두로 확인했는지를 봅니다. “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”라는 질문은 멈춘 위치를 드러내는 데만 사용합니다. 이후에는 함께 변하는 자료만으로 원인을 확정할 수 있는지도 근거와 함께 설명하는지 확인합니다. 다음 단계에서는 마지막 점을 포함한 판단이 단조 증가가 아니라는 이유를 좌표 변화와 y값의 감소로 적고, 원인·결과의 결론은 추가 정보 없이는 유보하는지 살펴봅니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.