남동구 고등수학과외

남동구 고등수학과외에서 정적분과 부정적분을 다룰 때 학생들이 자주 혼동하는 부분은 적분 기호가 같아 보인다는 점이다. 미추홀외국어고등학교와 문일여자고등학교 주변 학습 장면에서도 “적분하면 답에 항상 \(+C\)를 붙인다”고 기억한 뒤, 정적분까지 같은 방식으로 처리하는 경우가 있다. 간석4거리와 구월지구에서 오가는 학생의 풀이를 살펴보면, 계산 실수보다 두 적분의 역할을 섞어 쓰는 데서 첫 오류가 시작된다.

조건을 다시 읽어야 하는 이유

예를 들어 \(f'(9)=17\)이라는 조건이 제시되었다고 하자. 이 식은 \(x=9\)에서의 미분계수 값을 알려 줄 뿐, 모든 \(x\)에서의 도함수 \(f'(x)\)를 알려 주는 식은 아니다. 따라서 이 정보만으로 \(f(x)\) 전체를 구하거나 \(f'(x)\)를 부정적분해 \(f(x)=\int f'(x)\,dx\)라고 쓰는 것은 불가능하다.

학생은 처음에 다음과 같이 적었다.

f'(9)=17이므로 f(9)=∫17dx=17x+C, 따라서 f(9)=153+C

잘못되는 순간은 \(f'(9)=17\)을 상수함수 \(f'(x)=17\)로 바꾸는 부분이다. 특정 한 점에서의 값과 함수 전체의 식을 같은 것으로 본 것이다. 게다가 부정적분의 결과인 \(17x+C\)와 \(x=9\)에서의 함수값을 구분하지 않아, \(C\)가 정해지지 않은 상태에서 숫자를 확정하려 했다.

부정적분과 정적분을 나란히 분리하기

교정할 때는 먼저 조건의 대상을 표본처럼 다시 적어 본다. \(f'(9)=17\)은 한 점의 접선 기울기, \(f'(x)\)는 구간 전체에서 변하는 함수다. 만약 별도의 조건으로 \(f'(x)=3x^2-4x+1\)이 주어졌다면 부정적분은

\[ f(x)=x^3-2x^2+x+C \]

처럼 원시함수의 모음으로 나타난다. 여기서 \(C\)는 아직 정해지지 않은 임의의 상수다. 반면 정적분은

\[ \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \]

로 계산하며, 끝점을 대입하는 순간 상수항은 서로 소거된다. 그러므로 정적분의 답에는 일반적으로 \(+C\)를 붙이지 않는다. 부정적분은 함수식을 복원하는 과정이고, 정적분은 두 끝점에서의 함수값 차이를 구하는 과정이다.

조건 순서를 바꾼 새 문제

이번에는 풀이 방법을 제한해 \(f'(x)=2x+1\), \(f(1)=4\)가 주어졌을 때 먼저 부정적분을 쓰고, 그다음 조건을 이용해 \(f(x)\)를 정하도록 했다. 학생은

\[ f(x)=x^2+x+C,\quad 4=1+1+C \]

를 적어 \(C=2\), 따라서 \(f(x)=x^2+x+2\)를 얻었다. 이어서 정적분 관점으로 \(\int_1^3 f'(x)\,dx\)를 계산하면

\[ f(3)-f(1)=14-4=10 \]

이다. 도함수를 직접 적분해도 \([x^2+x]_1^3=12-2=10\)으로 같다. 조건의 순서가 바뀌어도 부정적분에서 상수를 정하고, 정적분에서는 끝점 차이를 구한다는 구분이 유지되는지 혼자 확인하게 했다.

마지막에는 원식으로 되돌아가기

검산은 같은 계산을 반복하는 데 그치지 않았다. 구한 함수 \(f(x)=x^2+x+2\)를 미분하면 \(f'(x)=2x+1\)이 다시 나오고, \(f(1)=4\)도 만족한다. 또 \(f(3)-f(1)=10\)이 직접 적분값과 일치한다. 반대로 \(f'(9)=17\)만 주어진 원래 조건에는 이런 검산을 적용해 하나의 \(f(x)\)를 확정할 수 없다. \(f'(x)=17\)인 경우와 \(f'(x)=2x-1\)인 경우 모두 \(x=9\)에서 17이 될 수 있기 때문이다. 같은 한 점 조건이 여러 함수와 양립한다는 반례가 부정적분의 출발 조건을 함부로 넓히지 않게 만든다.

자주 묻는 내용

정적분에도 적분상수를 쓰나요?

끝점 대입으로 상수항이 사라지므로 최종 답에는 쓰지 않는다.

\(f'(9)=17\)이면 \(f'(x)=17\)인가요?

아니다. 전자는 \(x=9\)에서의 값 하나이고, 후자는 모든 \(x\)에 대한 함수식이다.

부정적분의 \(C\)는 언제 정해지나요?

함수값이나 초기조건처럼 특정한 조건을 대입할 수 있을 때 정해진다.

정적분을 함수값 차이로 바꿔도 되나요?

적분할 함수가 어떤 함수의 도함수라는 사실이 확인될 때 뉴턴-라이프니츠 정리를 적용할 수 있다.

두 결과가 다르면 무엇부터 확인하나요?

도함수의 식과 한 점에서의 값이 바뀌지 않았는지, 부정적분의 \(C\)와 정적분의 끝점을 혼동하지 않았는지부터 살핀다.