남동구 고3수학과외

표가 식으로 바뀌는 순간, 분산의 기준을 다시 세우다

남동구의 간석4거리와 구월지구 생활권에서 학습하던 학생의 9월 모의평가 오답 기록에는 같은 유형을 다르게 제시한 문제들이 묶여 있었다. 표에서 자료를 읽을 때는 계산을 이어 갔지만, 확률조건이 문장으로 바뀌거나 자료가 식으로 제시되면 앞 문제의 풀이 순서를 그대로 복사하는 일이 반복됐다. 남동구고3수학과외에서 이 기록을 살필 때도 정답보다 표현이 바뀐 첫 줄에서 판단이 흔들린 흔적을 먼저 확인했다.

오답의 시작은 계산이 아니라 표현 복사였다

한 문제는 확률변수 X가 1, 3, 5의 값을 각각 같은 확률로 갖는다고 제시하고, Y=2X+1의 표준편차를 물었다. 학생은 표의 평균을 먼저 구한 뒤 Y의 값을 다시 표로 만들었지만, 이어진 조건부 자료에서는 ‘X가 3 이상인 경우’라는 문장을 전체 자료에 그대로 적용했다. 실제로는 사건 A={X≥3}만 남긴 새로운 표본공간에서 평균과 분산을 계산해야 하는데, 원래 전체 확률을 분모로 사용한 것이다.

더 근본적인 오류는 표준편차를 분산처럼 다룬 데 있었다. Var(X)=8/3까지 구한 뒤 Y의 표준편차를 2×8/3으로 적었다. 변환식의 계수는 분산에서는 제곱되고 표준편차에서는 절댓값으로만 반영된다는 관계를, 표와 식이 바뀌는 순간 분리하지 못했다. 즉, 풀이가 틀어진 최초 지점은 어려운 계산이 아니라 ‘앞 문제의 순서와 기호를 새 표현에 맞춰 다시 읽지 않은 것’이었다.

세 줄만 남겨 공통 관계를 복원하다

풀이를 길게 다시 쓰는 대신 학생은 다음 세 줄을 풀이 옆에 고정했다.

조건이 붙으면 먼저 사건 A만 남겨 새로운 표본공간을 만든다.
선형변환 Y=aX+b에서 Var(Y)=a²Var(X)이다.
표준편차는 σY=|a|σX이므로 평균의 이동 b는 영향을 주지 않는다.

그 뒤 원래 표에서 A={X≥3}인 값 3, 5만 따로 적고, 각 확률을 조건부 확률로 다시 나누었다. 전체 분모 3이 아니라 사건 A의 확률 2/3을 사용하자 두 값의 조건부 평균은 4, 조건부 분산은 1이 되었다. 같은 조건에서 Z=−3X+2라면 표준편차는 3이지만 분산은 9라는 점도 별도 칸에 나누어 기록했다. 계산 전체를 반복하지 않고, 오류 위험이 가장 큰 ‘분산인지 표준편차인지’와 ‘조건부 분모인지 전체 분모인지’만 대조한 것이다.

자료 형식을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 표 대신 다음과 같이 제시되었다. 확률변수 W의 평균이 10, 분산이 4이고, 사건 B가 주어졌을 때 새로운 변수 T=−(W−6)/2의 표준편차를 구하는 문제였다. 단, B가 붙은 값만 따로 제시되어 조건부 평균이 10, 조건부 분산이 4라고 했다.

학생은 숫자를 대입하기 전에 “B 안의 자료만 사용한다”고 적었다. 이어 T를 T=−W/2+3으로 바꾸고, 상수 3은 흩어짐에 영향을 주지 않으며 계수의 절댓값 1/2만 표준편차에 반영된다고 설명했다. 따라서 조건부 표준편차는 (1/2)×2=1이다. 이번에는 앞의 표를 기억해서 값을 옮긴 것이 아니라, 문장 속 조건과 변환식을 각각 다시 구성했다.

또 다른 짧은 검사는 조건을 제거했을 때 결과가 달라지는지 보는 것이었다. B를 사용하지 않고 전체 W의 분산을 적용하면 같은 수치가 우연히 나올 수도 있으므로, 학생은 조건부 평균과 분산이 실제로 주어진 범위에만 해당한다는 점을 표시했다. 조건 하나를 빼면 어떤 자료를 계산하는지조차 달라진다는 반례를 직접 만든 셈이다.

가린 풀이에서 남은 판단

며칠 뒤 식·표·그래프가 섞인 새 문항의 해설을 가리고 풀게 했다. 학생은 먼저 조건사건을 괄호로 묶고, 그 아래에 조건부 표본공간을 적었다. 이어 변환식의 계수와 상수항을 분리한 뒤, 분산에는 계수의 제곱을 쓰고 표준편차에는 절댓값을 쓰는 근거를 한 문장으로 설명했다. 마지막에는 원래 조건에 계산한 후보를 다시 대입해 조건을 벗어난 값이 없는지 확인했다.

중간식 한 줄을 가린 재구성에서도 학생은 사라진 식을 추측해 이어 쓰지 않고, “조건을 먼저 고정한 뒤 변환의 계수를 확인한다”는 순서로 풀이를 복원했다. 표현이 표에서 식으로, 전체 자료에서 조건부 자료로 바뀌어도 첫 판단이 유지되었다는 점이 이 사건의 최종 확인이었다.