남동구 중1수학과외

표와 그래프 사이에서 정비례식을 세운 과정

남동구 간석지구와 구월지구가 이어지는 생활권에서 중1 수학 문제를 풀던 학생은 정비례 관계를 표·식·그래프·문장으로 서로 바꾸는 과정에서 한 줄을 잘못 적었다. 문제는 “연필 1자루의 가격이 800원일 때, 연필 수와 전체 금액의 관계를 나타내라”는 내용이었다. 인천논현중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 실생활형 문제였지만, 학생은 계산보다 두 양의 대응 관계를 읽는 데서 막혔다.

표의 숫자를 바로 계산하지 않고 관계부터 읽기

학생이 처음 적은 표에는 연필 수가 1, 2, 3, 5로, 금액이 800, 1,600, 2,400, 4,000으로 정리되어 있었다. 그런데 식을 쓸 때는 표의 첫 번째 숫자인 1과 800을 단순히 더해 “y=x+800”이라고 적었다. 표의 두 양을 연결해야 하는데, 학생은 한 개 늘어날 때마다 일정한 금액이 더해진다는 사실을 덧셈식으로만 옮겼다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 연필 수를 넣으면 금액이 어떻게 정해지는지 확인하기 전에 두 값을 더해 식을 만든 것이었다. 이때 식의 모양이 틀렸다고만 지적하지 않고, 표의 같은 열을 세로로 맞춰 다시 보게 했다.

연필 수가 1일 때 금액은 800원이다. 따라서 금액은 연필 수에 800을 곱한 값이다.

학생은 각 열에서 금액을 연필 수로 나누어 800, 800, 800, 800이 나오는 것을 직접 적었다. 그래서 연필 수를 x, 금액을 y로 정하고 y=800x를 세웠다. 이어 표의 대응값을 식에 넣어 x=3이면 y=800×3=2,400, x=5이면 y=800×5=4,000이 된다는 것을 확인했다. 처음 표에 있던 값이 식에서 다시 만들어지는지 살핀 점이 교정의 핵심이었다.

문장으로 바꾸어도 같은 관계를 유지하는 연습

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. “사과 1개의 무게가 150g일 때, 사과의 개수와 전체 무게의 관계를 설명하고 그래프로 나타내라”는 문장이 제시되었다. 숫자 표가 먼저 주어지지 않자 학생은 곧바로 점을 찍으려 하지 않고, 두 양을 각각 정리했다.

• x: 사과의 개수
• y: 사과의 전체 무게
• 한 개의 무게: 150g

학생은 문장에서 “한 개의 무게가 150g”이라는 조건을 찾아 y=150x라고 썼다. 그 뒤 x=0, 1, 2, 3일 때 y가 0, 150, 300, 450이 되는 표를 만들고, 가로축에는 사과의 개수, 세로축에는 무게를 표시했다. 점 (0,0), (1,150), (2,300), (3,450)을 찍은 뒤 이 점들이 원점을 지나는 한 직선 위에 놓인다고 설명했다.

이번에는 질문의 방향도 바꾸었다. “전체 무게가 750g일 때 사과는 몇 개인가?”라는 물음에 학생은 그래프에서 대략 읽는 데 그치지 않고, 이미 세운 식 750=150x에 대응시켰다. 양변을 150으로 나누어 x=5를 얻고, 150×5=750으로 다시 확인했다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라 문장, 표, 식, 그래프 사이를 오가며 같은 정비례 관계를 유지했는지 확인한 장면이었다.

힌트 없이 다시 세운 정비례식

검증 문제에서는 “물 1분에 2L씩 채워지는 통에 대해 시간과 물의 양을 나타내라. 7분 뒤의 물의 양도 구하라”는 새로운 상황을 제시했다. 학생은 도움을 기다리지 않고 시간과 물의 양을 각각 x와 y로 정했다. 1분에 2L라는 조건에서 y=2x를 세운 뒤, 표에 x=0, 1, 4, 7을 넣어 y=0, 2, 8, 14를 적었다.

학생은 그래프의 가로축을 시간, 세로축을 물의 양으로 정하고 원점과 표의 대응점을 표시했다. 마지막으로 “시간이 2배가 되면 물의 양도 2배가 되며, 물의 양은 시간에 2를 곱한 값이므로 정비례한다”고 풀이 이유를 설명했다. x=7을 식에 넣어 y=14가 되는지 확인하고, 표의 7분 대응값과도 일치한다고 말했다.

남동구과외에서 이처럼 한 학생의 실제 풀이를 따라가면, 정비례를 외운 식으로 처리하는지, 아니면 두 양의 대응을 읽어 식과 그래프로 옮기는지 구분할 수 있다. 남동구중1수학과외에서도 답만 맞힌 결과보다 첫 식의 근거와 대응값 검산까지 이어지는 과정을 중심으로 확인한다.