중산동 중등수학과외

중산동중등수학과외, 두 변 18·19와 사이각 60°에서 합동 여부 확인하기

삼각형의 합동에서는 주어진 수치가 많아 보여도, 그 수치들이 어떤 위치에 놓였는지가 결론을 결정합니다. 두 삼각형에 각각 길이 18, 19인 두 변과 그 사이각 60°가 주어진 기본 과제는 두 변과 그 사이의 각이 대응하므로 합동을 판단할 수 있습니다. 반면 비교 과제에서는 60°라는 사이각 조건을 삭제하고 두 변의 길이만 남깁니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 조건 하나가 사라졌을 때 같은 결론을 유지해도 되는지 망설일 수 있으므로, 말로 한 설명과 그림의 표시가 같은 뜻인지 함께 확인하는 흐름이 필요합니다.

두 변 사이에 놓인 60°를 먼저 찾습니다

기본 과제에서는 길이 18인 변과 길이 19인 변을 각각 대응되게 색으로 표시한 뒤, 두 변이 만나는 꼭짓점의 각이 60°인지 표시합니다. 여기서 중요한 것은 단순히 ‘변 두 개와 각 하나’가 있다는 사실이 아닙니다. 60°가 바로 18과 19 사이에 놓인 각이어야 합니다. 한 삼각형에서 18과 19가 이루는 각이 60°이고, 다른 삼각형에서도 대응하는 18과 19가 이루는 각이 60°이므로 두 변과 그 사이각이 모두 같습니다. 따라서 SAS 합동 조건을 만족하여 두 삼각형은 합동입니다.

중산동중등수학과외 수업에서는 합동 조건 카드를 바로 고르게 하기보다 그림에서 두 변의 끝을 따라가 보게 합니다. “60°의 양쪽 변은 18과 19인가요?”라고 짧게 확인하면, 각의 위치와 변의 관계를 분리해서 보던 풀이를 고칠 수 있습니다. 18, 19, 60°를 모두 적었더라도 60°를 두 변 밖의 각에 표시했다면 SAS라고 결론 내릴 수 없으므로, 숫자와 표시의 대응 순서를 다시 맞춥니다.

60°를 지우면 한 가지 모양으로 정해지지 않습니다

비교 과제에는 길이 18과 19라는 두 변만 남아 있습니다. 이때 두 변을 같은 꼭짓점에서 연결하더라도 끼인각을 60°로 만들 수 있고, 60°보다 큰 각이나 작은 각으로도 만들 수 있습니다. 끼인각이 달라지면 두 변의 끝을 잇는 세 번째 변의 길이와 삼각형의 벌어진 모양도 달라집니다. 따라서 길이 18, 19가 같다는 정보만으로는 두 삼각형이 반드시 같은 모양과 크기라고 확정할 수 없습니다.

만약 ‘두 변이 같으니 합동’이라고 계산했다면, 빠진 것은 사이각입니다. 두 변을 나란히 적은 뒤 기본 과제의 ‘사이각 60°’ 부분만 지워 비교해 보면 유지된 조건은 18과 19이고 달라진 조건은 각도라는 점이 드러납니다. 두 변 사이의 각을 서로 다르게 표시한 두 그림을 그려 보면 같은 두 변으로 서로 다른 삼각형이 가능하다는 사실도 확인됩니다. 그러므로 비교 과제의 답은 합동을 확정할 수 없음입니다.

설명과 그림이 일치하는지로 다음 적용을 확인합니다

다음 확인에서는 먼저 기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건을 학생이 직접 표시하게 합니다. 기본 과제에는 ‘18과 19 사이의 60°’, 비교 과제에는 ‘각도 조건 없음’이라고 적고, 각각의 첫 판단을 스스로 선택해 보게 합니다. 기본 과제에서는 SAS 합동 조건을 만족한다고 말하면서 실제 그림에서도 60°가 두 변 사이에 표시되는지 확인합니다. 비교 과제에서는 두 변만으로는 모양이 하나로 정해지지 않는다고 설명하면서, 서로 다른 사이각의 그림을 제시할 수 있는지를 봅니다.

“각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?”라는 질문에 답만 말하는 것보다, 18과 19 사이각을 다르게 그려 근거를 연결하는지가 중요합니다. 이 연결이 어려우면 합동 전체를 처음부터 반복하기보다, 빠진 조건을 표시하는 단계와 결론을 선택하는 단계를 나누어 확인합니다. 반대로 조건의 위치와 결론을 일관되게 연결한다면, 이후에는 각의 위치가 바뀐 문제에서도 정말 사이각인지 판별하는 과제로 넓혀 갈 수 있습니다.