중산동 중2수학과외
그래프의 모양보다 좌표를 먼저 읽는 일차함수 풀이
중산동 삼성아파트와 중산마을8단지가 있는 생활권, 인천중산중학교가 포함된 지역에서 진행한 중2수학과외 수업에서 학생은 일차함수 식을 구하는 문제를 풀었다. 문제에는 기울기가 2이고 그래프가 점 (3, 7)을 지난다는 조건이 제시되어 있었다.
시간 제한이 시작되자 학생은 좌표축의 눈금을 확인한 뒤 점 (3, 7)에 동그라미를 쳤다. 이어 그래프가 오른쪽 위로 올라가는 모양을 보고 “기울기는 양수니까 식은 y=2x+2일 것 같다”고 적었다. 기울기 2는 읽었지만, 절편을 구하는 계산은 뒤로 미뤘다. 식에 x=3, y=7을 넣어 맞는지 확인하려던 검산도 보류한 채 다음 단계로 넘어갔다.
식의 모양을 정하기 전에 좌표를 대입하다
풀이가 어긋난 최초의 판단은 그래프의 방향만 보고 절편을 확정한 것이었다. 그래프가 올라간다는 사실은 기울기의 부호와 관련 있지만, 절편까지 알려 주지는 않는다. 학생은 기울기를 읽은 뒤 곧바로 식을 완성하려 했고, 주어진 점이 식에 어떤 값을 결정하는지 사용하지 않았다.
기울기를 읽은 뒤에는 반드시 y=2x+b에 점의 좌표를 넣어 b를 정한다.
교정에서는 이미 읽어 낸 기울기 2는 그대로 두었다. 학생이 적은 y=2x+b에 점 (3, 7)을 직접 대입하도록 했다.
7=2×3+b가 되므로 7=6+b, b=1이다. 따라서 식은 y=2x+1이다. 학생은 자신이 처음 쓴 y=2x+2에 같은 좌표를 넣어 7=8이라는 모순을 확인했다. 이어 새 식에 x=3을 넣어 y=7이 되는지 계산하고, 그래프가 점 (3, 7)을 지나며 오른쪽으로 1만큼 갈 때 위로 2만큼 올라가는지도 표시했다. 이미 맞게 읽었던 기울기는 유지하고, 절편만 좌표 대입으로 결정한 장면이었다.
문장 조건을 좌표와 그래프로 바꾸어 적용하기
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않기 위해 다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 어느 택시의 이동 거리를 x분, 요금을 y원으로 나타낸 그래프가 원점에서 출발하지 않고, 4분일 때 3,000원인 점을 지나며 1분마다 800원씩 증가한다고 제시했다. 이번에는 “식을 구하라”는 말 대신 “6분일 때 요금은 얼마인지 설명하라”고 물었다.
학생은 문장에서 1분마다 800원 증가를 기울기 800으로 표시하고, 4분과 3,000원을 좌표 (4, 3000)으로 바꾸었다. y=800x+b에 대입하여 3000=3200+b, b=-200을 얻었다. 그래서 y=800x-200을 세운 뒤 x=6을 넣어 4,600원을 계산했다. 단순히 그래프의 높이를 보고 고르지 않고, 문장 속 증가량은 기울기, 주어진 한 시점의 값은 좌표로 대응시켰다.
- 기울기: x가 1 증가할 때 y가 변하는 양
- 점의 좌표: 식에 대입하여 절편을 결정하는 조건
- 검산: 구한 식에 주어진 점을 넣어 등식이 성립하는지 확인
도움 없이 다시 세운 첫 판단
힌트를 가리지 않은 새 문제에서 학생은 두 직선의 교점이 (2, 5)이고, 한 직선의 기울기가 -1이라는 조건을 읽었다. 학생은 곧바로 “먼저 y=-x+b로 놓고 교점 좌표를 넣어 절편을 구하겠다”고 말했다. 5=-2+b에서 b=7을 얻어 y=-x+7을 작성했다.
이어 다른 직선도 같은 교점 (2, 5)를 지나야 하므로, 그 식에 x=2를 넣었을 때 y=5가 나오는지 확인했다. 첫 번째 식에서는 -2+7=5가 성립한다고 설명했고, 그래프에서 기울기 -1은 오른쪽으로 1만큼 이동할 때 아래로 1만큼 내려가는 모양이라고 검산했다. 마지막으로 주어진 교점이 두 식 모두에 들어가는지 직접 대입했다.
이 과정에서 학생은 그래프의 방향만으로 식을 정하지 않고, 기울기를 먼저 식에 놓은 뒤 주어진 점으로 절편을 결정하고, 다시 좌표를 대입해 확인하는 판단을 혼자 재현했다. 중산동과 하늘마을 생활권에서 이어지는 인천중산중학교 인근 학습 사례처럼, 중산동과외 및 중산동중2수학과외에서도 이 한 가지 기준을 문제의 표현이 달라져도 적용하는 장면을 중심으로 다룰 수 있다.