중산동 중3수학과외

중산동 중3수학과외에서 살펴본 삼각비 풀이의 기준

중산동과외 수업에서 인천중산중학교가 포함된 생활권의 서술형 문제를 풀던 중, 계산보다 먼저 확인해야 할 판단이 드러났습니다. 삼성아파트와 중산마을8단지 등이 있는 생활권에서 진행한 이번 학습의 중심은 직각삼각형에서 기준각에 맞는 삼각비를 선택해 미지의 변 길이를 구하는 것이었습니다. 삼각비의 종류를 외우는 데서 끝내지 않고, 기준각에 따라 빗변·높이·밑변의 역할이 달라진다는 점을 풀이에 적용했습니다.

답안에 남은 첫 식

문제는 다음과 같았습니다. 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°, BC=6cm일 때 AB의 길이를 구하는 문제였습니다.

학생의 답안: “30°가 보이므로 sin30°를 사용한다. sin30°=6/x, 따라서 x=12이다.”

결과만 보면 답은 맞았지만, 이 풀이의 출발이 안정적이지 않았습니다. 학생은 예제에서 자주 보던 순서를 떠올려 먼저 사인과 식을 정한 뒤, 그 다음에 변의 위치를 맞추려 했습니다. 특히 AB를 x로 두었지만, 왜 BC가 30°에 대한 높이이고 AB가 빗변인지 표시하지 않았습니다.

계산 전, 기준각에서 선을 다시 읽기

가장 먼저 어긋난 판단은 기준각 A를 확인하기 전에 삼각비와 변을 선택한 것입니다. 삼각비 이름을 먼저 고르는 행동은 그림의 방향이 바뀌면 쉽게 흔들릴 수 있습니다.

교정에서는 다른 풀이법을 추가하지 않고, 기준각 하나를 먼저 표시하는 행동만 바꾸었습니다. 학생은 그림에서 A를 동그라미로 표시한 뒤 두 변의 역할을 다음처럼 적었습니다.

• 직각 C의 맞은편에 있는 AB: 빗변
• 기준각 A의 맞은편에 있는 BC: 높이
• 기준각 A와 붙어 있고 빗변이 아닌 AC: 밑변

이제 필요한 변은 BC와 AB이므로, ‘높이/빗변’에 해당하는 sin A를 선택합니다. 따라서

sin 30° = BC ÷ AB = 6 ÷ x

이고, sin30°=1/2이므로 1/2=6/x, x=12입니다. 처음 계산한 12는 유지했지만, 그 값에 도달한 근거가 기준각과 변의 역할로 분명해졌습니다.

그림을 돌려 놓아도 같은 기준으로

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 그림과 질문의 위치를 바꾸었습니다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°이고, ∠R=45°입니다. 빗변 PR의 길이는 10cm이며, 구할 것은 직각을 낀 변 PQ입니다. 이번에는 주어진 변이 기준각 R에 대한 빗변이고, 미지변 PQ는 기준각 R의 맞은편 변입니다.

학생은 먼저 R에 표시하고, ‘구할 변은 맞은편, 알고 있는 변은 빗변’이라고 적었습니다. 따라서 이번에는

sin45° = PQ ÷ PR

가 됩니다. sin45°=√2/2이므로 PQ=10×√2/2=5√2cm입니다. 앞 문제처럼 BC를 분자로 외우거나 그림의 위쪽 변을 높이라고 부르지 않고, 기준각에서 실제 위치를 읽어 식을 세웠습니다.

힌트 없이 다시 세운 한 문제

한 주 뒤, 별도의 유형명이나 표시 없이 다음 문제를 제시했습니다.

직각삼각형 XYZ에서 ∠Z=90°, ∠X=60°이다. YZ=9cm일 때 XY의 길이를 구하고, 사용한 삼각비가 맞는 이유를 설명하시오.

학생은 먼저 X를 기준각으로 정한 뒤, XY는 직각 Z의 맞은편에 있으므로 빗변, YZ는 X의 맞은편 변이라고 설명했습니다. 따라서

sin60° = 9 ÷ XY

입니다. sin60°=√3/2이므로 √3/2=9/XY, XY=18/√3=6√3cm로 정리했습니다.

마지막으로 구한 값을 원래 삼각비에 대입해 확인했습니다.

9 ÷ 6√3 = √3/2

분모를 정리하면 9/(6√3)=3/(2√3)=√3/2이므로 식이 처음의 sin60°와 일치합니다. 도움 없이도 기준각을 먼저 정하고, 그 기준에서 두 변의 역할을 판단한 뒤 비를 세웠다는 점이 이번 중산동중3수학과외 학습의 핵심 변화였습니다.