단구동 중등수학과외

단구동중등수학과외, 닮음비 3:6에서 큰 삼각형의 변 30을 근거로 확인하기

닮은 삼각형의 대응변이 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 15에 대응하는 큰 삼각형의 변을 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 30이지만, 이 문제에서는 답을 맞혔는지와 닮음비의 방향을 설명할 수 있는지를 나누어 확인할 필요가 있습니다. 단구동중등수학과외 수업에서도 계산 결과만 빠르게 확인하기보다, 비례식의 분자와 분모가 각각 어느 삼각형의 길이인지 표시하여 정답이 성립하는 이유를 살펴볼 수 있습니다.

작은 삼각형끼리, 큰 삼각형끼리 길이를 모아 비례식 세우기

먼저 대응 꼭짓점의 순서를 맞춘 뒤 대응변을 같은 줄에 적습니다. 작은 삼각형의 한 변 3은 큰 삼각형의 대응변 6과 짝이고, 작은 삼각형의 다른 변 15는 구하려는 큰 삼각형의 변 x와 짝입니다. 작은 것 대 큰 것의 비를 택했다면 두 분자는 모두 작은 삼각형에서 골라야 하므로 3/6=15/x로 씁니다. 교차곱하면 3x=6×15=90이고, x=30입니다. 반대로 6/3=x/15처럼 큰 것 대 작은 것으로 통일해도 6×15=3x가 되어 같은 x=30을 얻습니다. 핵심은 어느 방향을 먼저 썼는지가 아니라, 한 비례식 안에서 위아래 또는 왼쪽·오른쪽의 기준을 끝까지 같게 유지하는 데 있습니다.

맞힌 답 30에 남아 있을 수 있는 설명의 빈칸

정답 30을 썼다고 해서 곧바로 오답으로 고칠 이유는 없습니다. 다만 3/6=15/x라는 식에서 3과 15가 모두 작은 삼각형의 변이라는 점, 6과 x가 모두 큰 삼각형의 변이라는 점이 풀이에 드러나는지 확인합니다. 예를 들어 3/6=x/15라고 썼다면 같은 위치에 있는 15와 x가 서로 다른 삼각형의 길이가 되어 비의 방향이 섞입니다. 계산 중 우연히 30이 나와도 닮음비를 적용한 근거로는 충분하지 않습니다. “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”라고 짧게 묻고, 학생이 말로 설명하기 어렵다면 대응변 표의 같은 줄에 3–6, 15–x를 적거나 화살표로 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 향하는 방향을 표시하게 합니다. 말, 그림, 식 가운데 어느 방식으로든 기준이 일관되게 나타나는지를 보는 편이 좋습니다.

순서를 뒤집은 비교 문제에서 같은 길이가 나오는 이유

비교 과제에서는 작은 삼각형과 큰 삼각형을 쓰는 순서만 뒤집습니다. 이번에는 큰 것 대 작은 것의 닮음비가 6:3=2:1임을 먼저 확인합니다. 따라서 구하는 큰 삼각형의 길이를 x라 하면 x/15=2/1 또는 6/3=x/15로 세울 수 있고, x=15×2=30입니다. 기본 문제와 달라진 것은 비례식의 기준 방향입니다. 기본 문제의 3:6은 작은 것 대 큰 것, 비교 문제의 2:1은 큰 것 대 작은 것입니다. 그러나 대응 관계와 확대 비율은 유지되므로 구한 큰 변은 모두 30입니다. 며칠 뒤에는 정답을 가린 뒤 큰 삼각형을 먼저 쓴 비례식으로도 30이 되는 과정을 스스로 적게 해 볼 수 있습니다. 이때 2:1을 썼다는 사실만이 아니라 x/15가 큰 것 대 작은 것인지, 대입한 30이 30/15=2를 만족하는지까지 확인하면 다음 단계의 판단 근거가 분명해집니다.