단구동 중2수학과외
문장 속 조건을 두 식으로 바꾸는 연립방정식 수업
단구동과외 수업에서 학생은 가격과 개수가 함께 나오는 문장제를 풀다가 계산보다 먼저 식을 세우는 단계에서 멈췄다. 문제에는 노트와 펜을 합쳐 모두 14개를 사고, 노트 1권은 1,200원, 펜 1자루는 800원이며 전체 금액은 14,800원이라는 조건이 있었다. 학생은 노트의 개수를 x, 펜의 개수를 y로 정하고 식을 적기 시작했다.
“개수가 14개니까 x=14-y”라고 쓴 뒤, 가격 조건은 1200x+800y=14800으로 옮겼다. 여기까지는 두 조건이 각각 한 식에 들어갔다. 그러나 예제에서 본 순서를 그대로 따라가려 하면서 두 번째 식에 x=14-y를 대입하지 않고, 첫 번째 식에 다시 x를 대입하려 했다. 결국 같은 미지수 y가 남는 식을 만들고도 계산을 계속 이어 갔다.
오답의 출발점을 다시 확인하다
식의 계산 결과가 이상해진 뒤 학생은 마지막 숫자부터 고치려 했다. 교사는 계산을 멈추고 “대입한 뒤에도 미지수가 하나만 남는가?”를 먼저 물었다. 학생이 두 식을 나란히 보니, 대입은 어느 식에 하느냐보다 한 미지수를 나타낸 식을 다른 식에 넣어 하나의 미지수만 남기는 것이 핵심이었다.
개수 조건에서 이미 x를 y로 나타냈으므로, 가격 식에 x=14-y를 넣는다.
학생은 이 기준 하나만 적고 기존의 식은 그대로 유지했다.
- x+y=14에서 x=14-y로 정리한다.
- 1200x+800y=14800에 x=14-y를 대입한다.
- 1200(14-y)+800y=14800
- 16800-1200y+800y=14800
- 2000=400y이므로 y=5
- x=14-5이므로 x=9
학생은 답을 적기 전에 개수 조건에 9와 5를 넣어 9+5=14를 확인하고, 가격 조건에도 1200×9+800×5=14,800을 대입했다. 처음 잘못된 선택은 계산 실수가 아니라, 대입 뒤 미지수가 하나만 남는지 확인하지 않은 것이었다. 그 판단만 바로잡고 나머지 계산 과정은 유지했다.
표현이 바뀐 문제에서 같은 판단을 사용하기
다음 문제는 식을 바로 주지 않고 표와 문장으로 제시했다. 문구류 세트의 주문표에는 연필과 지우개를 합쳐 20개, 총 결제 금액은 18,000원으로 표시되어 있었다. 연필 한 자루는 700원, 지우개 한 개는 500원이었다. 이번에는 “연필은 몇 자루인가?”가 아니라 “지우개 한 개의 가격이 600원으로 바뀐다면 연필과 지우개의 개수는 각각 얼마인가?”라고 질문했다.
학생은 표의 항목을 읽고 연필 개수를 x, 지우개 개수를 y로 정했다. 수량 표에서 x+y=20을 만들고, 변경된 가격을 반영해 700x+600y=18,000을 세웠다. 예전처럼 무조건 첫 식을 대입하지 않고, 먼저 x=20-y로 정리한 뒤 가격 식에 넣었다. 700(20-y)+600y=18,000에서 y=4, x=16을 구했다.
이번에는 질문의 방향과 가격 계수가 달라졌지만, 학생은 문장 속 ‘전체 개수’와 ‘전체 금액’을 각각 한 식에 대응시켰다. 또 표에서 연필과 지우개의 순서를 바꾸어 다시 적은 뒤에도 x가 연필인지 지우개인지 표시를 지우지 않았다. 이는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 표의 정보와 질문의 방향을 식으로 옮기는 연습이었다.
힌트 없이 다시 세운 두 식
수루배마을6단지가 있는 생활권과 단구중학교가 포함된 지역의 학생 사례를 다루는 단구동중2수학과외 수업에서, 교사는 새 문제를 읽어 주고 식을 세우라는 말만 남겼다. 학생은 “스티커와 엽서를 합쳐 30장, 스티커 1장은 300원, 엽서 1장은 500원, 모두 11,000원”이라는 조건을 읽은 뒤 종이에 먼저 미지수의 뜻을 썼다.
학생은 스티커를 x장, 엽서를 y장이라 정하고 “합계 30”을 x+y=30으로, “총액 11,000원”을 300x+500y=11,000으로 옮겼다. 이어 x=30-y로 정리해 두 번째 식에 대입했다. 300(30-y)+500y=11,000이므로 9,000+200y=11,000, y=10, x=20이었다.
학생은 풀이를 설명하며 “개수 조건으로 한 미지수를 정리했고, 그 식을 금액 조건에 넣어야 미지수 하나만 남는다”고 말했다. 마지막으로 20+10=30, 300×20+500×10=11,000을 직접 검산했다. 이번에는 예제의 순서나 교사의 질문 없이도 문장 속 두 조건을 각각 식으로 만들고, 대입할 식을 스스로 선택했다.