단구동 고등수학과외
단구동 고등수학과외에서는 정적분 계산을 시작하기 전에 함수가 구간 안에서 어떻게 이어지는지 확인하는 풀이 장면을 자주 다룬다. 국책연구단지와 수루배마을6단지에서 통학하는 학생도 원주고등학교, 북원여자고등학교 시험 범위의 적분 문제를 풀 때 계산식보다 좌극한과 우극한을 적는 순서에서 실수를 보이곤 한다.
∫₀⁷ f(x)dx를 풀며 드러난 첫 오류
한 학생에게 다음과 같은 함수가 주어졌다.
f(x)=x+1 (x<3), f(3)=10, f(x)=2x-2 (x>3)
문제는 ∫₀⁷ f(x)dx를 구하고 x=3에서 함수의 연결 상태를 확인하는 것이었다. 학생은 먼저 구간을 0부터 3, 3부터 7로 나누고 항 번호를 적었다. 여기까지는 정확했다. 좌극한도
lim x→3- f(x)=3+1=4
라고 썼다. 그러나 우극한을 확인하는 순간, 오른쪽 식에 접근해야 하는데 함수값 f(3)=10을 그대로 가져와
lim x→3+ f(x)=f(3)=10
이라고 적었다. 우극한은 x가 3보다 큰 쪽에서 3에 가까워질 때의 값이므로, 한 점에서 정해진 함수값과 같다고 바로 놓을 수 없다. 이 지점이 풀이의 첫 오류였다.
우극한을 식으로 다시 읽는 훈련
교정할 때는 답을 알려 주기보다 우극한 기호 오른쪽의 조건을 먼저 표시하게 했다. x→3+는 x>3인 부분을 사용한다는 뜻이므로 오른쪽 식 2x-2를 대입해야 한다.
lim x→3+ f(x)=lim x→3+(2x-2)=2×3-2=4
따라서 좌극한과 우극한은 모두 4로 일치한다. 다만 함수값은 f(3)=10이므로, 두 극한이 같다는 사실만으로 함수가 x=3에서 연속이라고 판단할 수 없다. 학생은 처음 조건인 f(3)=10에 밑줄을 긋고, ‘좌극한=우극한’과 ‘극한값=함수값’을 구분해 적었다.
적분 계산에서는 한 점의 함수값이 넓이에 영향을 주지 않는다. 따라서
∫₀³(x+1)dx+∫₃⁷(2x-2)dx
=21/2+32=85/2
가 된다. 앞서 제시한 식에서 ∫₀³(x+1)dx는 21/2이므로 전체는 85/2이다. 함수값 f(3)=10을 별도의 넓이로 더하지 않는 것도 함께 확인했다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 적용하기
다음에는 분할점과 식을 바꾸어 주었다.
g(x)=2x (x<4), g(4)=1, g(x)=x+4 (x>4)
학생은 먼저 x=4의 왼쪽에서 2x를, 오른쪽에서 x+4를 사용했다. 좌극한은 8, 우극한은 8이므로 서로 일치하지만 g(4)=1과는 다르다는 점까지 독립적으로 적었다. 또한 풀이 방법을 ‘그래프를 그리지 않고 좌우의 식만으로 판단하기’로 제한해, 함수값을 우극한에 끼워 넣는 실수를 다시 하지 않는지 확인했다.
한쪽 극한만 존재하는 반례로 마무리
마지막에는
h(x)=1/x
를 x=0 근처에서 살펴보게 했다. x→0+에서는 h(x)가 +∞로 커지고, x→0-에서는 -∞로 내려간다. 두 방향의 거동이 같지 않으므로 전체 극한은 존재하지 않는다. 학생은 우극한 하나가 계산된다고 해서 전체 극한을 결정할 수 없다는 점을 확인한 뒤, 좌우 극한을 각각 적고 서로 비교하는 방식으로 검산을 끝냈다.
자주 묻는 내용
함수값과 우극한은 언제 같은가?
오른쪽 식의 극한값이 함수가 그 점에서 정한 값과 우연히 같을 때만 같다. 정의상 자동으로 같은 것은 아니다.
한 점의 값이 정적분에 영향을 주나?
일반적인 정적분에서는 한 점에서의 함수값 하나가 넓이값을 바꾸지 않는다. 다만 구간 전체의 식과 불연속 형태는 확인해야 한다.
좌우 극한이 모두 같으면 연속인가?
아니다. 좌우 극한이 같고 그 값이 해당 점의 함수값과도 같아야 연속이다.
우극한 계산에서 먼저 볼 것은?
접근 방향에 맞는 함수식이다. x→a+이면 a보다 큰 쪽의 식을 사용한다.