단계동 중등수학과외

단계동중등수학과외, y=(x-13)²+1의 꼭짓점과 아래로 열리는 그래프를 확인하는 방법

이차함수 그래프에서는 답을 맞히는 것과 그 답이 왜 성립하는지 설명하는 것은 조금 다른 확인입니다. 예를 들어 y=(x-13)²+1의 꼭짓점과 대칭축을 묻는 문제에서 꼭짓점 (13, 1), 대칭축 x=13이라고 적었다면 결과는 맞습니다. 다만 “괄호 안이 0이 되는 x는 얼마인가요?”라는 질문에 식과 연결해 말할 수 있어야, 꼭짓점의 x좌표를 단순히 외운 것이 아니라는 점을 확인할 수 있습니다. 단계동중등수학과외 수업에서는 맞힌 답을 다시 오답처럼 다루기보다, 제곱되는 부분과 그래프의 방향이 각각 무엇을 결정하는지 분리해 살펴봅니다.

제곱되는 부분이 가장 작아지는 x를 식에서 찾기

y=(x-13)²+1에서 (x-13)²은 어떤 x를 넣어도 0 이상입니다. 따라서 이 제곱값이 가장 작은 때는 0일 때입니다. 괄호 안이 0이 되도록 x-13=0을 쓰면 x=13입니다. 이때 y=(13-13)²+1=0²+1=1이므로 그래프가 가장 낮은 위치는 (13, 1)입니다. 꼭짓점은 (13, 1), 그 점을 지나는 세로 대칭선은 x=13이 됩니다. 풀이에는 x-13=0 → x=13, y=1처럼 두 줄을 표시해 두면 ‘13이 어디서 나왔는지’가 드러납니다. x=13을 원식에 직접 넣어 y=1이 되는지 확인하는 것도 꼭짓점 좌표 검산입니다. 반대로 x=12나 x=14를 넣으면 제곱 부분이 1이 되어 y=2가 되므로, x=13일 때의 y=1보다 낮아질 수 없다는 점도 함께 확인할 수 있습니다.

식 앞의 음수는 꼭짓점이 아니라 열리는 방향을 바꾼다

이제 y=-(x-13)²+1을 비교합니다. 먼저 괄호 안이 0이 되는 조건은 여전히 x-13=0이므로 x=13입니다. 대입하면 y=-(13-13)²+1=1이어서 꼭짓점은 (13, 1), 대칭축은 x=13으로 기본 문제와 같습니다. 달라지는 것은 식 전체 앞의 음수입니다. x=12를 넣으면 y=-(12-13)²+1=-1+1=0이고, x=11을 넣으면 y=-4+1=-3입니다. 꼭짓점에서 멀어질수록 y값이 작아지므로 이 포물선은 아래로 열립니다. 기본 식에서는 제곱값이 커질수록 y가 1보다 커져 위로 열렸지만, 비교 식에서는 제곱값 앞의 음수가 값을 반대로 만들어 y가 1보다 작아집니다. 따라서 ‘괄호 안의 0’은 꼭짓점의 위치를, ‘제곱항 앞의 부호’는 열린 방향을 판단하게 한다고 나누어 볼 수 있습니다.

정답을 가린 뒤 두 조건을 따로 복원해 보기

확인할 때는 정답을 다시 읽는 대신, 먼저 식에서 x-13=0을 적어 x=13을 찾고 그 값을 대입하여 y=1을 계산하게 합니다. 이어 “식 앞에 음수가 붙어도 괄호가 0인 x는 같은가?”를 묻고, 두 식 모두 x-13=0이라는 같은 식으로 돌아감을 표시하게 합니다. 그 다음에만 +(x-13)²와 -(x-13)²를 비교하여 각각 위로, 아래로 열린다고 판단합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 꼭짓점 대입표에 x=13일 때 y=1을 쓰고, x=12와 x=14에서의 값을 양쪽에 적어도 됩니다. 다음 단계에서는 도움 없이 두 식의 꼭짓점과 대칭축이 같다는 근거, 그리고 음수 때문에 비교 그래프가 아래로 열린다는 근거를 식과 대입 결과로 제시하는지 확인합니다. 한 번의 짧은 답만으로 이해 정도를 단정하기보다, 표시·식·그림 중 편한 방식으로 같은 관계를 보여 주는지를 살피는 것이 좋습니다.