단계동 고등수학과외
단계동 고등수학과외에서 극한과 미분을 함께 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 장면은 ‘극한값’과 ‘함수값’을 처음부터 같은 것으로 정해 버리는 경우다. 북원여자고등학교 내신 문제를 연습하던 한 학생도 x=11 부근의 식을 보자마자 f(11)을 극한값이라고 적었다. 수루배마을과 원주혁신도시 생활권에서 진행한 수업에서는 계산 속도보다 두 값을 각각 구한 뒤 관계를 확인하는 순서를 연습했다.
f'(11)=11이라는 조건에서 멈춘 지점
다음과 같은 함수를 놓고 풀이를 시작했다.
f(x)=11x-114 (x≠11), f(11)=7
학생은 먼저 “함수값을 같은 것으로 보지 않겠다”고 말했지만, 실제 풀이에서는 곧바로 f(11)=7을 극한의 답으로 옮겨 적었다. 그다음 f'(11)=11을 확인하려고 차분몫을 계산하던 중에도 극한 기호 안의 대상이 무엇인지 구분하지 않았다. 첫 오류는 계산 실수가 아니라, 극한의 대상이 함수 자체인지 차분몫인지 표시하지 않은 순간에 생겼다.
교사는 식을 두 줄로 나누어 적게 했다.
- 함수의 극한: lim x→11 f(x)
- 미분계수의 극한: lim h→0 {f(11+h)-f(11)}/h
x가 11과 같지 않을 때의 식을 대입하면 f(x)=11x-114이므로 lim x→11 f(x)=121-114=7이다. 이 값은 실제로 정해 둔 f(11)=7과 일치한다. 그러나 두 번째 식은
{f(11+h)-f(11)}/h = {11(11+h)-114-7}/h = 11
이 되어 f'(11)=11이 된다. 학생은 같은 숫자 7이 나온다는 이유로 극한과 함수값을 합친 것이 아니라, 각각의 정의에 따라 계산한 뒤 우연히 일치하는 경우임을 확인했다. 수업 노트에는 “극한의 근거: x=11 주변의 식, 함수값의 근거: x=11에서 따로 정한 값”이라고 적었다.
조건을 바꾼 뒤 혼자 선택한 근거
다음에는 함수값만 바꾸어 제시했다.
g(x)=11x-114 (x≠11), g(11)=9
이번에는 이전 풀이를 보지 않고 먼저 lim x→11 g(x)=7을 적었다. 이어 g(11)=9이므로 두 값이 다르다고 판단했고, 따라서 x=11에서 연속이 아니라고 설명했다. 미분계수 역시 존재할 수 없다고 덧붙였다. 실제로 차분몫은
{g(11+h)-g(11)}/h = {7+11h-9}/h = 11-2/h
가 되어 h가 0에 가까워질 때 일정한 값으로 수렴하지 않는다. 조건 하나가 바뀌었을 때도 함수값을 먼저 답으로 쓰지 않고, 극한을 구할 식과 점에서의 값을 분리한 점이 달라졌다.
조각별 대입으로 끝내는 검산
마지막에는 답을 말하는 데서 멈추지 않고 원식을 양쪽에서 따로 확인했다. x<11인 식과 x>11인 식이 모두 11x-114라면 좌극한과 우극한은 각각 7이다. 따라서 함수의 극한은 7이며, 원래 정의에서 f(11)도 7로 설정된 경우에만 연속이라는 결론을 얻는다. 반대로 g(11)=9인 경우에는 양쪽 극한은 여전히 7이지만 실제 함수값은 9다. 그래프를 그리면 구멍의 위치와 따로 찍힌 점의 높이가 달라져 두 개념의 차이가 눈에 보인다.
자주 묻는 질문
- 극한값과 함수값이 같으면 항상 미분 가능한가요?
아니다. 연속이어도 뾰족한 점이 있으면 미분 가능하지 않을 수 있다. - f'(11)=11이면 f(11)도 11인가요?
아니다. f'(11)은 변화율이고 f(11)은 x=11에서의 함수값이다. - 좌극한과 우극한이 같으면 함수값도 같은가요?
아니다. 함수값은 따로 정해질 수 있으므로 반드시 직접 대입해야 한다. - 미분계수 계산에서 가장 먼저 확인할 것은 무엇인가요?
차분몫의 분자에 f(11+h)와 f(11)이 정확히 들어갔는지 확인해야 한다.