단계동 중3수학과외

그래프에서 읽은 위치와 식의 p, q를 맞춰 보기

평원중학교와 치악중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형처럼 보였지만, 이번에는 문제 수를 늘리지 않고 그래프의 평행이동과 p·q의 대응만 추적했다.

완성된 오답에서 거꾸로 찾은 한 줄

문제는 다음과 같았다.

함수 y=x²의 그래프를 평행이동한 그래프가 점 (3, -2)를 꼭짓점으로 갖는다. 이 그래프를 y=(x-p)²+q로 나타낼 때 p와 q를 구하여라.

학생은 먼저 종이에 “오른쪽으로 3, 아래로 2 이동”이라고 적었다. 여기까지는 그래프의 위치를 읽은 기록이었다. 이어서 식을 y=(x+3)²-2로 세우고, p=-3, q=-2라고 썼다. 마지막에는 x=3을 대입해 y=16-2=14라고 계산한 뒤, “그래프가 점 (3, -2)를 지난다”는 조건과 맞지 않는다는 것을 발견했다.

풀이를 뒤에서부터 읽어 보니 14라는 계산 자체가 최초 오류는 아니었다. x=3을 식에 대입한 계산은 그 식에 대해서는 맞았다. 계산 전에 이미 그래프의 오른쪽 이동을 식 안의 부호와 같은 방향으로 옮긴 것이 문제였다. 학생은 그래프의 모양만 보고 괄호 안 부호를 단정했으며, 식과 그래프에서 직접 대응하는 좌표와 위치를 확인하지 않았다.

p의 부호를 외우지 않고 좌표로 확인하기

이 문제에서 기준 그래프 y=x²의 꼭짓점은 (0, 0)이다. 식 y=(x-p)²+q의 꼭짓점은 괄호 안이 0이 되는 x=p에서 생기고, 그때 y=q가 된다. 따라서 그래프의 꼭짓점 (3, -2)와 식의 위치를 직접 대응하면

p=3, q=-2

이다. 그러므로 식은 y=(x-3)²-2가 된다. 학생이 이미 계산한 방식을 전부 버릴 필요는 없었다. 다만 첫 식을 세울 때 그래프의 꼭짓점 x좌표 3을 p에 그대로 대응하는 행동 하나만 고쳤다. 실제로 x=3을 대입하면 y=(3-3)²-2=-2이므로 주어진 점을 지난다.

여기서 “오른쪽이면 무조건 플러스”처럼 외우면 다시 흔들릴 수 있다. 괄호 안에서 x값이 p일 때 제곱 부분이 0이 되는지를 확인하면, 그래프의 위치와 식의 p가 같은 좌표를 가리키는지 바로 점검할 수 있다. 아래로 2만큼 이동한 것은 식 바깥의 q=-2로 연결된다.

그림 대신 조건표로 바꿔 읽은 문제

다음에는 모양이 다른 문제를 제시했다.

어떤 포물선은 y=x²의 그래프를 평행이동한 것이며, 표에서 x= -4일 때 가장 가운데 위치의 점이 (-4, 5)로 표시되어 있다. 이 그래프를 y=(x-p)²+q로 나타낼 때 p와 q를 구하여라.

이번에는 그래프 그림을 보고 방향을 말하는 대신, 꼭짓점 좌표가 표로 주어진 상황이다. 학생은 “가운데 위치의 점”이라는 표현을 보고 그것을 식의 꼭짓점 좌표로 연결했다. x좌표 -4를 p에, y좌표 5를 q에 대응시켜 p=-4, q=5라고 적었다. 따라서 식은 y=(x+4)²+5가 된다.

처음 문제처럼 숫자만 바꾼 것이 아니라, 그래프의 이동을 그림에서 읽는 대신 좌표표의 위치 정보로 읽도록 표현을 바꾸었다. 그래도 사용하는 기준은 같았다. y=(x-p)²+q에서 x=p일 때 제곱 부분이 0이 되고, 그 점의 y값이 q라는 한 가지 대응만 사용했다. 다른 그래프 성질이나 새로운 계산법은 끌어오지 않았다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 기록

며칠 뒤 단계동중3수학과외 복습에서 학생은 다음 문제를 도움 없이 풀었다.

y=x²의 그래프를 평행이동한 그래프의 꼭짓점이 (-2, -3)이고, 그 그래프가 점 (0, 1)을 지난다. 식을 y=(x-p)²+q로 나타내고, 구한 식이 두 정보를 만족하는지 확인하여라.

학생은 먼저 꼭짓점의 좌표만으로 p=-2, q=-3을 정하고 y=(x+2)²-3을 썼다. 이어 x=0을 대입하여 y=(0+2)²-3=1이라고 계산했다. 꼭짓점 정보에서는 x=-2를 넣어 y=(-2+2)²-3=-3도 확인했다.

이번에는 그림의 모양만 보고 부호를 정하지 않았다. 식에서 제곱 부분을 0으로 만드는 x가 꼭짓점의 x좌표와 같은지, 바깥의 값이 꼭짓점 y좌표와 같은지 스스로 설명한 뒤 두 좌표를 식에 다시 넣었다. 그래프의 평행이동과 p·q의 연결을 새 조건에서도 재현하고, 계산 결과가 문제의 좌표와 일치하는지까지 검산한 것이다.