단계동 중2수학과외

가격과 개수 문장제를 연립방정식으로 옮기는 순간

단계동과외 수업에서 학생의 연립방정식 풀이를 함께 살펴보던 중, 계산 결과보다 식을 세운 첫 장면에 문제가 있다는 사실이 드러났다.

문제: 노트 3권과 펜 2자루의 가격은 8,400원이고, 노트 2권과 펜 5자루의 가격은 9,000원이다. 노트 한 권과 펜 한 자루의 가격을 구하여라.

정답이 아니라 풀이의 뒤쪽에서 거꾸로 확인하기

학생은 노트의 가격을 x원, 펜의 가격을 y원으로 두고 계산했다. 공책에 적힌 마지막 부분은 다음과 같았다.

3x+2y=8400
2x+5y=9000

그 뒤 첫째 식에 5를 곱하고 둘째 식에 2를 곱한 뒤, y의 계수를 맞추어 빼려고 했다. 그런데 실제 계산지에는 둘째 식이 4x+10y=18000으로 적혀 있었다. 학생은 첫째 식의 x 계수만 3에서 6으로 바꾸어 계산한 뒤, 두 식을 비교하며 노트 가격을 구하려 했다.

처음에는 뒤의 뺄셈에서 부호를 잘못 처리했을 것이라고 생각했지만, 풀이를 오른쪽에서 왼쪽으로 되짚었다. 2x+5y=9000에 2를 곱했다면 x의 계수는 4가 되어야 하고, 첫째 식은 그대로 3x+2y=8400이어야 한다. 따라서 결과가 어긋난 최초의 판단은 뺄셈이 아니라 한 식에서만 계수를 바꾸고 다른 항과의 대응을 끝까지 확인하지 않은 것이었다.

처음 어긋난 한 줄만 바로잡기

학생이 이미 정한 x와 y의 의미, 두 문장을 식으로 바꾼 과정은 유지했다. 다시 전부 풀게 하지 않고, 계수를 맞출 때 한 식의 모든 항에 같은 수를 곱해야 한다는 점만 표시했다.

첫째 식에 5를 곱하면 15x+10y=42000, 둘째 식에 2를 곱하면 4x+10y=18000이다. 이제 같은 10y를 없애기 위해 두 식을 빼면 11x=24000이므로 x는 24000/11이 된다. 이 문제의 수가 깔끔하지 않다는 점을 확인한 학생은 계산 과정의 이상 여부를 다시 살폈고, 문장 수치를 잘못 옮겼을 가능성을 발견했다. 원문을 재확인한 결과 첫째 가격은 8,200원이었다.

따라서 올바른 식은 3x+2y=8200, 2x+5y=9000이다. 첫째 식에 5, 둘째 식에 2를 곱해 빼면 11x=23000이므로 x=23000/11이 된다. 여전히 자연스럽지 않아 학생은 문제의 숫자와 자신의 필기를 대조했고, 실제 수업 자료의 첫째 조건이 ‘노트 3권과 펜 2자루는 8,000원’임을 확인했다. 이처럼 계산을 밀어붙이지 않고 식과 원문을 서로 검산하는 장면이 중요했다.

표현을 바꾼 문제에서 첫 판단 다시 세우기

다음 문제는 숫자만 바꾸지 않고 표로 제시했다.

구분	노트	펜	전체 금액
구매 A	4권	1자루	9,000원
구매 B	1권	3자루	5,000원

학생은 표의 첫 행을 읽고 4x+y=9000, 둘째 행을 읽고 x+3y=5000이라고 적었다. 이어 두 식의 x 계수를 맞추기보다 y의 계수가 1과 3이라는 점을 먼저 보고, 첫째 식에 3을 곱한 뒤 둘째 식을 빼기로 했다. 이때 12x+3y=27000에서 x+3y=5000을 빼면 11x=22000, x=2000, y=1000이 된다.

학생은 표의 각 행을 다시 식에 대입했다. 4×2000+1000=9000, 2000+3×1000=5000으로 모두 일치했다. 표를 식으로 바꾸는 순간에도 ‘한 행의 각 항이 같은 배수로 함께 움직이는가’를 먼저 판단한 것이다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에 풀이 중간을 가린 새 문장을 제시했다.

빵 2개와 음료 3개의 가격은 1,900원, 빵 5개와 음료 1개의 가격은 3,100원이다. 각각의 가격을 구하여라.

학생은 곧바로 빵을 x원, 음료를 y원으로 정하고 2x+3y=1900, 5x+y=3100을 세웠다. 두 번째 식에 3을 곱하면 y의 계수가 3이 되므로 첫째 식을 빼겠다고 설명했다. 15x+3y=9300에서 2x+3y=1900을 빼 13x=7400, x=7400/13이 된다는 결과를 보고, 가격이 자연수인지와 원문 수치를 다시 확인했다.

학생은 “식 자체는 문장과 맞지만 가격이 자연스럽지 않으므로 계산 전 조건을 다시 확인해야 한다”고 말했다. 이어 두 원래 식에 얻은 값을 대입해 둘 다 성립하는지 검산했다. 도움 없이 첫 식을 세우고, 계수 비교로 가감 방향을 정하고, 마지막에는 원래 두 식과 가격의 조건까지 확인한 것이다. 단계동중2수학과외에서 확인한 변화는 답을 빨리 쓰는 것이 아니라, 첫 줄의 대응과 각 항의 동치 관계를 스스로 설명하는 데 있었다.