풍남문 중등수학과외

풍남문중등수학과외, x+y=16과 x-y=12에서 순서쌍 대입으로 해를 확인하는 방법

연립일차방정식에서는 계산으로 x를 구하는 것만으로 풀이가 끝나지 않습니다. x+y=16, x-y=12를 함께 만족하는 값을 찾는 문제의 답은 x=14, y=2입니다. 이때 중요한 조건은 x와 y가 각각 한 식에만 맞는 값이 아니라, 같은 순서쌍 (14, 2)로 두 식을 모두 만족해야 한다는 점입니다. 풍남문중등수학과외에서는 이미 답을 맞힌 경우에도 “x=14를 구했으니 y도 정할 수 있는가?”를 식과 연결해 설명하는지 살펴봅니다. 정답을 오답으로 바꾸는 수업이 아니라, 맞힌 계산이 왜 연립방정식의 해가 되는지 확인하는 과정입니다.

한 문자를 없앤 뒤 남은 식에서 y를 정하는 이유

두 식을 세로로 맞추어 쓰면 x+y=16과 x-y=12에서 x의 계수는 모두 1이고, y의 부호만 +와 -로 다릅니다. 따라서 두 식을 더하면 y와 -y가 0이 되어 2x=28, x=14가 됩니다. 그러나 이 결과는 x의 값 하나를 찾은 것이므로 y까지 자동으로 말하지 않습니다. x=14를 첫째 식에 넣으면 14+y=16이므로 y=2이고, 둘째 식에 넣어도 14-y=12, 즉 y=2가 됩니다. 한 식에 x=14를 대입해 y를 구할 수 있는 까닭은 그 식 안에서 x와 y의 관계가 정해져 있기 때문입니다. 이어서 다른 식에도 같은 값을 넣어 보는 까닭은, 그 관계가 두 번째 조건과도 동시에 맞는지 확인하기 위해서입니다.

정답 (14, 2)를 두 조건에 넣어 확인하기

풀이 기록에는 x=14, y=2를 따로 적는 데서 멈추지 않고 순서쌍으로 묶어 적는 것이 좋습니다. 첫째 식에는 14+2=16이 되어 우변 16과 같고, 둘째 식에는 14-2=12가 되어 우변 12와 같습니다. 따라서 (14, 2)는 두 식을 동시에 만족하는 해입니다. 반대로 한 식만 맞는 값이라면 연립일차방정식의 해라고 할 수 없습니다. 예를 들어 x=14를 구한 다음 y를 쓰지 못했다면, ‘답을 모르겠다’고 단정하기보다 14+y=16이라는 대입식을 표시하게 합니다. 그 식에서 y가 2임을 정한 뒤, 14-2=12까지 확인하면 어떤 조건을 사용했는지가 풀이에 남습니다. “같은 순서쌍이 두 식을 모두 만족하나요?”라는 짧은 질문도 정답을 다시 말하게 하기보다 이 두 대입 결과를 가리키게 하는 데 사용할 수 있습니다.

합이 17, 차가 11로 바뀐 비교 문제의 판단

비교 문제 x+y=17, x-y=11에서는 식의 형태와 y의 부호가 서로 반대라는 관계는 유지됩니다. 그래서 두 식을 더해 y를 없애는 방법도 그대로 적용할 수 있습니다. 다만 우변의 합은 16+12=28에서 17+11=28로 바뀌므로 2x=28, x=14가 됩니다. 여기서 첫째 식에 대입하면 14+y=17이어서 y=3입니다. 검산은 14+3=17, 14-3=11로 두 식 모두에서 합니다. 기본 문제에서는 (14, 2), 비교 문제에서는 (14, 3)이며, x가 같다고 해서 y까지 같다고 판단하면 안 됩니다. 우변의 조건이 달라졌으므로 대입 뒤 남은 y의 값도 다시 정해야 합니다.

다음 확인에서는 기본 문제의 답을 가린 채 x=14를 어느 식에 넣어 y=2를 얻는지, 그리고 (14, 2)가 두 식에 맞는지 식으로 표시하게 합니다. 그 뒤 도움 없이 비교 문제를 풀어 (14, 3)의 두 대입식까지 쓸 수 있는지 봅니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 두 식을 더한 줄, 대입한 줄, 두 검산식을 순서대로 표시해도 충분합니다. 반응 하나만으로 이유를 단정하기보다, 계산 과정과 두 조건 비교가 함께 나타나는지를 확인하는 것이 연립일차방정식 복습의 기준이 됩니다.