풍남문 중1수학과외
좌표의 순서를 읽는 한 줄에서 시작된 풀이
풍남문 생활권의 중1 수학 과외에서는 좌표평면에서 두 축을 구별하고, 순서쌍의 의미를 정확히 읽는 활동을 중심으로 살펴보았다. 삼천개나리아파트와 떡정거리 등이 표시된 생활권 자료처럼 여러 위치를 표와 그림으로 바꾸어 보는 문제였고, 전주서신중학교가 포함된 생활권의 수학 학습에서도 연결해 볼 수 있는 내용이었다.
표의 숫자를 점으로 옮기며 생긴 혼동
학생에게 다음과 같은 표를 제시했다.
점 ㄱ의 좌표는 (-3, 2), 점 ㄴ의 좌표는 (4, -1)이다. 두 점이 어느 사분면에 있는지 쓰고 좌표평면에 나타내시오.
학생은 먼저 종이에 가로축과 세로축을 그린 뒤 표의 ㄱ을 보며 “-3은 위로 세 칸, 2는 오른쪽으로 두 칸”이라고 적었다. 이어서 점 ㄱ을 왼쪽 위가 아니라 오른쪽 위에 표시했고, 점 ㄴ도 “4는 세로축에서 아래로 네 칸”이라고 읽어 네 번째 사분면이 아닌 아래쪽 다른 위치에 찍었다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 점의 위치를 계산하기 전에 순서쌍의 첫 번째 수와 두 번째 수를 축에 대응시키지 않은 것이었다. 음수 자체를 잘못 계산한 것이 아니라, 첫 수를 세로 방향으로 옮긴 데서 점의 위치가 달라졌다.
축의 역할을 한 줄씩 고쳐 쓰기
이미 그려 둔 좌표평면은 지우지 않고, 학생이 혼동한 부분 옆에 다음처럼 규칙을 다시 적게 했다.
- 순서쌍 (x, y)에서 첫 번째 수 x는 가로축으로 이동한다.
- 두 번째 수 y는 세로축으로 이동한다.
- 0에서 오른쪽과 위쪽은 양수, 왼쪽과 아래쪽은 음수이다.
그 뒤 ㄱ의 (-3, 2)를 다시 읽었다. 0에서 가로축을 따라 왼쪽으로 3만큼 간 뒤, 그 자리에서 세로 방향으로 위로 2만큼 이동하여 점을 찍었다. 따라서 ㄱ은 제2사분면이었다. ㄴ의 (4, -1)은 오른쪽으로 4, 아래로 1이므로 제4사분면에 놓였다.
교정이 제대로 되었는지 확인하려고 점을 표시한 뒤 좌표를 거꾸로 읽었다. ㄱ에서 세로축까지의 가로 방향 수가 -3이고, 가로축까지의 세로 방향 수가 2임을 확인했다. 점의 위치와 순서쌍을 서로 바꾸어 읽지 않는 것이 이번 수정의 핵심이었다.
표가 아닌 문장과 그림으로 바꾸어 보기
같은 숫자를 그대로 반복하지 않고 문제의 표현을 바꾸었다.
점 P는 원점에서 왼쪽으로 2만큼, 아래로 3만큼 이동한 곳에 있다. 점 P의 좌표와 사분면을 말하시오.
학생은 문장에서 먼저 가로 방향과 세로 방향을 따로 표시했다. “왼쪽 2”를 x좌표 -2로, “아래 3”을 y좌표 -3으로 바꾸어 P(-2, -3)을 만들었다. 좌표평면에 실제로 점을 찍은 뒤 두 좌표가 모두 음수이므로 제3사분면이라고 답했다.
이번에는 반대로 그림에 표시된 점 Q를 보고 표를 완성하게 했다. Q가 가로축에서 오른쪽 5, 세로축에서 위쪽 1에 놓여 있으므로 순서쌍을 (5, 1)로 적었다. 질문도 바꾸어 “Q와 같은 사분면에 있으면서 x좌표가 음수인 점이 놓일 수 있는 곳”을 묻자, 학생은 제1사분면의 조건을 그대로 복사하지 않고 x좌표가 음수라는 조건에 맞춰 제2사분면을 골랐다.
힌트 없이 다시 세운 최종 풀이
풍남문중1수학과외 수업의 끝에는 새로운 표를 제시하고 설명이나 표시를 먼저 제공하지 않았다.
점 A(-4, 3), B(2, 4), C(-1, -2)가 있다. 각 점의 위치를 좌표평면에 나타내고, 제2사분면에 있는 점을 고른 뒤 그 점의 좌표를 설명하시오.
학생은 종이에 가로축을 x축, 세로축을 y축이라고 적었다. “순서쌍의 첫 수는 x축, 둘째 수는 y축”이라고 스스로 확인한 다음 A는 왼쪽 4, 위 3이므로 제2사분면, B는 오른쪽 위이므로 제1사분면, C는 왼쪽 아래이므로 제3사분면에 표시했다.
이어서 A를 고른 이유를 “첫 번째 좌표 -4가 음수라 왼쪽으로 가고, 두 번째 좌표 3이 양수라 위로 간다. 그래서 제2사분면이다”라고 설명했다. 마지막으로 평면에 찍은 A를 다시 읽어 (-4, 3)이 맞는지 확인하고, B와 C도 각각 (2, 4), (-1, -2)인지 역으로 대조했다. 처음의 오류였던 축의 순서와 이동 방향을 힌트 없이 다시 세우고, 표·문장·그림 사이를 오가며 같은 개념을 재현한 장면이었다.