풍남문 고3수학과외

계산보다 먼저 허용되는 선택을 가려낸 이항계수 풀이

6월 모의평가 오답을 다시 펼친 날, 학생은 식부터 쓰지 않고 문제의 제한 문장에 밑줄을 그었다. “서로 다른 5명 중 2명을 선택한다”는 표현과 “특정 학생은 반드시 포함한다”는 조건을 따로 표시한 뒤, 실제로 계산에 영향을 주는 조건만 첫 줄 옆에 옮겼다. 전주고3수학과외 학습 점검에서도 이 순서를 유지하는지 확인하기 위해 해설과 보기를 가린 채 답을 구성하게 했다.

자연스러운 답이 오히려 위험했던 이유

처음 풀이에서 학생은 전체 경우를 5C2로 계산했다. 값은 10으로 깔끔했고, 보기의 수와도 비슷해 보여 그대로 답을 고르려 했다. 하지만 문제에는 “A는 반드시 포함되지 않는다”가 아니라 “A를 포함하는 경우만 센다”는 제한이 있었다. 경우의 수를 계산하는 행동 자체가 틀린 것이 아니라, 허용되는 선택의 범위를 식에 반영하지 않은 것이 최초의 오류였다.

학생이 빠뜨린 조건을 적용하면 A를 먼저 고정하고 나머지 4명 중 1명을 고르는 것이므로 경우의 수는 4C1=4이다. 5C2에서 금지되는 경우를 뒤늦게 빼는 방식도 가능하지만, 이 문제에서는 조건을 첫 식에 직접 넣는 편이 더 안전했다. 풍남문 생활권에서 진행한 풍남문과외 학습에서도 이처럼 결과가 자연스럽다는 이유만으로 조건을 통과시키지 않도록, 식을 쓰기 전 허용 여부를 먼저 묻는 습관을 강조했다.

빠진 조건만 복원하는 교정

전체 풀이를 처음부터 다시 외우게 하지는 않았다. 학생의 풀이 첫 줄에 “A 포함”을 적고, 선택할 대상에서 A를 고정한 뒤 남은 사람과 필요한 인원을 다시 세게 했다. 이어 자신이 만든 후보를 원래 문장에 대입했다. A가 포함되었는지, 서로 다른 사람을 골랐는지 두 가지만 확인하자 계산 결과 4가 조건과 일치한다는 것을 설명할 수 있었다.

그다음에는 조건을 읽는 순서를 번호로 기록했다.

• ① 반드시 포함되거나 제외되는 대상을 표시한다.
• ② 조건을 반영해 실제로 고를 대상과 인원을 정한다.
• ③ 그 뒤에 이항계수로 경우를 계산한다.
• ④ 나온 선택을 원문 조건에 다시 넣어 허용되는지 확인한다.

이 기록은 단순히 공식을 고르는 표가 아니었다. “5명 중 2명”이라는 숫자보다 “A를 포함한 선택만 허용”이라는 문장이 먼저 처리되어야 한다는 판단의 흔적이었다. 전주고3수학과외 복기에서는 오답을 지우지 않고, 잘못된 5C2 옆에 “조건 미반영”이라고 남겨 최초의 판단을 추적하게 했다.

조건의 위치를 바꾼 문제에서

독립 적용에서는 표현을 바꾸었다. 이번에는 7명 중 3명을 고르되, A는 제외하고 B와 C 중 정확히 한 명만 포함하는 문제를 제시했다. 앞 문제의 숫자만 바꾼 것이 아니라 제한조건의 위치와 형태를 바꾼 것이다.

학생은 먼저 B를 포함하고 C를 제외하는 경우와 C를 포함하고 B를 제외하는 경우를 나누었다. 첫 경우는 나머지 5명 중 2명을 골라 5C2, 둘째 경우도 5C2이므로 합은 20이다. A는 제외 조건이므로 처음부터 선택 대상에서 빼고, 두 경우가 동시에 일어날 수 없다는 점도 확인했다. 만약 “정확히 한 명”이 아니라 “적어도 한 명”이었다면 B와 C를 모두 포함하는 경우가 추가된다는 반례까지 만들어 조건의 차이를 설명했다.

표와 식의 제시 순서를 바꾼 변형에서도 학생은 바로 7C3을 쓰지 않았다. 제한 문장을 먼저 찾아 B·C의 선택 상태를 나눈 다음 계수를 세웠다. 조건 하나를 제거했을 때 5C2+5C2만 남는 것이 아니라 A 제외 조건까지 달라질 수 있음을 비교하면서, 각 조건이 결과의 어느 부분을 줄이는지 짚었다.

힌트가 사라진 뒤 남은 판단

마지막 4점 문항은 제한시간을 짧게 두고 해설 없이 풀게 했다. 문제는 6명 중 2명을 고르되, 특정 두 사람 중 적어도 한 명을 포함하는 경우였다. 학생은 전체 6C2를 먼저 쓰지 않고, 조건을 만족하는 경우를 직접 나누었다. 두 사람 중 한 명만 포함하는 경우와 둘 다 포함하는 경우를 구분해 4C1+1=5를 얻었다.

검산할 때도 전체 계산을 반복하지 않았다. 자신이 세운 두 경우가 겹치지 않는지, 두 사람을 모두 포함한 선택이 빠지지 않았는지만 확인했다. 시간이 줄어든 상황에서도 조건 표시, 첫 식의 근거, 원문 재대입이라는 세 행동이 그대로 나왔다. 답을 맞힌 사실보다, 조건을 찾지 않은 채 계산을 시작했던 최초의 습관이 새 문제에서 다시 나타나지 않았다는 점이 이 사건의 최종 검증이었다.