서신동 고1수학과외
서신동 고1수학과외, 정의역과 공역을 구분해 답의 범위를 바로잡은 사례
함수 문제를 풀던 학생은 \(f(x)=\sqrt{x-1}\)의 정의역을 묻는 문항에서 식을 정리한 뒤 답을 \(x\le 1\)로 적었다. 제곱근 안의 식이 0 이상이어야 한다는 조건에서 부호를 옮기는 순간 방향을 반대로 판단한 것이 오류의 시작이었다.
부호가 아니라 제곱근의 조건부터 읽기
교정할 때는 계산을 이어 가지 않고, 제곱근이 실수가 되려면 근호 안이 0 이상이어야 한다는 문장을 식 옆에 직접 적게 했다.
\(x-1\ge0\) 이므로 \(x\ge1\)
따라서 이 함수의 정의역은 \([1,\infty)\)이다. 함수값은 제곱근의 결과이므로 항상 0 이상이며, 실제 공역을 \([0,\infty)\)로 정한 경우에는 치역도 그 범위 안에 놓인다. 정의역과 공역을 같은 답의 범위로 처리하지 않는 것이 핵심이었다.
그래프 조건이 붙자 답의 역할을 나누다
이후 \(g(x)=\sqrt{3-x}\)의 정의역과 공역이 각각 \(x\)의 범위와 \(y\)의 범위로 제시된 문항을 풀게 했다. 학생은 먼저 \(3-x\ge0\)을 세워 \(x\le3\)을 얻었고, 그래프가 \(y\)축 위쪽에 놓인다는 점에서 함수값의 범위가 \(y\ge0\)임을 따로 적었다. 식의 입력 조건과 출력 조건을 분리하자 숫자만 바뀐 문제로 보지 않고 질문의 대상을 구별할 수 있었다.
- 정의역: \(x\le3\)
- 공역이 \([0,\infty)\)로 주어진 경우: 함수값이 들어갈 수 있는 범위
- 이 함수의 치역: 실제로 얻는 \(y\)의 범위인 \([0,\infty)\)
처음 보는 식에서 범위를 확인한 방법
마지막에는 \(h(x)=\sqrt{2x+4}\)의 정의역을 구하고, 답 \(x\ge-2\)를 식에 다시 넣어 근호 안이 음수가 되지 않는지 확인하게 했다. \(x=-2\)에서는 함수값이 0이고, \(x=0\)에서는 \(\sqrt4=2\)가 되어 경계값과 허용 범위가 모두 조건에 맞았다.
서신동 생활권에서 진행한 이 학습 사례는 정의역을 먼저 판정하고 공역·치역을 구별하는 습관으로, 부호 이동에서 생긴 범위 오류를 새로운 함수식에도 전이하지 않도록 만든 과정이다.