서신동 중2수학과외

분수가 있는 연립방정식에서 첫 식을 고르는 기준

서신동의 서신중흥아파트와 삼천개나리아파트가 있는 생활권에서 중2수학과외를 진행하던 중, 학생은 분수가 섞인 연립방정식을 시간 안에 풀어야 했다. 문제는 다음과 같았다.

¹/₂x＋y＝7,　x－¹/₃y＝4

학생은 두 식을 한 줄씩 읽으며 분수 앞에 동그라미를 표시했다. 첫 식의 x 계수가 1이 아니라는 점, 둘째 식의 y 계수가 분수라는 점도 따로 적었다. 그런데 예제에서 보았던 순서를 떠올리며 첫 번째 식에서 y를 정리하려 했다. 양변에서 ¹/₂x를 빼고 y＝7－¹/₂x라고 쓴 뒤, 이를 둘째 식에 대입했다.

계산보다 먼저 어긋난 선택

식 자체를 정리하는 과정은 맞았지만, 학생이 처음 잘못 판단한 지점은 대입할 식을 예제의 순서대로 고른 것이었다. y＝7－¹/₂x를 둘째 식에 넣으면 x와 y가 함께 남아, 분수 계산과 전개를 한꺼번에 처리해야 한다. 학생은 그 뒤 괄호를 풀면서 부호를 놓쳤고, 계산 결과를 원래 두 식에 넣자 두 값이 맞지 않았다.

오답을 거꾸로 확인하던 학생은 “틀린 계산을 찾기 전에, 처음부터 한 미지수를 바로 나타낼 수 있는 식을 골랐어야 했다”고 말했다. 둘째 식은 x－¹/₃y＝4이므로 x＝4＋¹/₃y로 정리할 수 있다. 이 식을 첫째 식에 넣으면 x가 바로 사라진다.

분모를 없앤 뒤 대입하기

이번에는 이미 맞았던 ‘한 미지수를 식으로 나타낸다’는 과정은 유지하고, 분모 처리를 먼저 하도록 한 줄만 바꾸었다. 학생은 두 식에 각각 6을 곱해 계수를 정수로 만들었다.

• ¹/₂x＋y＝7 → 3x＋6y＝42
• x－¹/₃y＝4 → 3x－y＝12

둘째 식에서 y＝3x－12로 정리하고, 이를 첫째 식에 대입했다. 3x＋6(3x－12)＝42이므로 21x＝114, x＝³⁸/₇이 된다. 이어 y＝3×³⁸/₇－12＝³⁰/₇로 계산했다. 학생은 마지막에 두 값을 원래 분수가 있는 식에 다시 넣었다. 첫째 식에서는 ¹⁹/₇＋³⁰/₇＝7, 둘째 식에서는 ³⁸/₇－¹⁰/₇＝4가 되어 양쪽 조건을 모두 확인했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 유형을 숫자만 바꾸지 않고, 두 식을 문장 조건으로 제시했다.

어떤 수를 각각 x, y라 할 때, 첫 번째 수의 절반과 두 번째 수의 합은 9이고, 첫 번째 수에서 두 번째 수의 4분의 1을 뺀 값은 6이다. x와 y를 구하여라.

학생은 문장을 읽고 ‘절반과 합’이라는 조건을 첫 식에, ‘뺀 값’이라는 조건을 둘째 식에 대응시켜 표로 옮겼다.

• ¹/₂x＋y＝9
• x－¹/₄y＝6

이번에는 분모의 최소공배수 4를 두 식에 곱해 2x＋4y＝36, 4x－y＝24로 바꾸었다. 학생은 y＝4x－24를 얻은 뒤 첫 식에 대입해 2x＋4(4x－24)＝36을 세웠다. 계산 중 괄호 앞의 4와 음수 부호에 밑줄을 긋고, 구한 값을 각 문장에 다시 대입했다. 두 조건이 각각 9와 6을 만드는지 말로 확인한 점도 이전 풀이와 달랐다.

힌트 없이 재현한 확인 장면

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²/₃x－y＝5,　¹/₂x＋¹/₂y＝6

학생은 “분모를 먼저 없애면 대입할 식을 고르기 쉽고, 한 미지수의 계수가 1인 식을 만들 수 있다”고 설명했다. 6을 곱해 4x－6y＝30, 3x＋3y＝36으로 바꾼 뒤 둘째 식을 x＋y＝12로 줄이고, x＝12－y를 첫째 식에 대입했다. 구한 값을 두 정수 계수식과 처음의 분수식에 차례로 넣어 모두 성립하는지 확인했다. 이번에는 식의 순서가 아니라 분모 처리와 대입 후 한 미지수만 남는지를 기준으로 첫 행동을 스스로 결정했다.