서신동 중2수학과외

분수가 있는 연립방정식에서 첫 식을 고르는 기준

서신동의 서신중흥아파트와 삼천개나리아파트가 있는 생활권에서 중2수학과외를 진행하던 중, 학생은 분수가 섞인 연립방정식을 시간 안에 풀어야 했다. 문제는 다음과 같았다.

¹/₂x＋y＝7,　x－¹/₃y＝4

학생은 두 식을 한 줄씩 읽으며 분수 앞에 동그라미를 표시했다. 첫 식의 x 계수가 1이 아니라는 점, 둘째 식의 y 계수가 분수라는 점도 따로 적었다. 그런데 예제에서 보았던 순서를 떠올리며 첫 번째 식에서 y를 정리하려 했다. 양변에서 ¹/₂x를 빼고 y＝7－¹/₂x라고 쓴 뒤, 이를 둘째 식에 대입했다.

계산보다 먼저 어긋난 선택

식 자체를 정리하는 과정은 맞았지만, 학생이 처음 잘못 판단한 지점은 대입할 식을 예제의 순서대로 고른 것이었다. y＝7－¹/₂x를 둘째 식에 넣으면 x와 y가 함께 남아, 분수 계산과 전개를 한꺼번에 처리해야 한다. 학생은 그 뒤 괄호를 풀면서 부호를 놓쳤고, 계산 결과를 원래 두 식에 넣자 두 값이 맞지 않았다.

오답을 거꾸로 확인하던 학생은 “틀린 계산을 찾기 전에, 처음부터 한 미지수를 바로 나타낼 수 있는 식을 골랐어야 했다”고 말했다. 둘째 식은 x－¹/₃y＝4이므로 x＝4＋¹/₃y로 정리할 수 있다. 이 식을 첫째 식에 넣으면 x가 바로 사라진다.

분모를 없앤 뒤 대입하기

이번에는 이미 맞았던 ‘한 미지수를 식으로 나타낸다’는 과정은 유지하고, 분모 처리를 먼저 하도록 한 줄만 바꾸었다. 학생은 두 식에 각각 6을 곱해 계수를 정수로 만들었다.

• ¹/₂x＋y＝7 → 3x＋6y＝42
• x－¹/₃y＝4 → 3x－y＝12

둘째 식에서 y＝3x－12로 정리하고, 이를 첫째 식에 대입했다. 3x＋6(3x－12)＝42이므로 21x＝114, x＝³⁸/₇이 된다. 이어 y＝3×³⁸/₇－12＝³⁰/₇로 계산했다. 학생은 마지막에 두 값을 원래 분수가 있는 식에 다시 넣었다. 첫째 식에서는 ¹⁹/₇＋³⁰/₇＝7, 둘째 식에서는 ³⁸/₇－¹⁰/₇＝4가 되어 양쪽 조건을 모두 확인했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 유형을 숫자만 바꾸지 않고, 두 식을 문장 조건으로 제시했다.

어떤 수를 각각 x, y라 할 때, 첫 번째 수의 절반과 두 번째 수의 합은 9이고, 첫 번째 수에서 두 번째 수의 4분의 1을 뺀 값은 6이다. x와 y를 구하여라.

학생은 문장을 읽고 ‘절반과 합’이라는 조건을 첫 식에, ‘뺀 값’이라는 조건을 둘째 식에 대응시켜 표로 옮겼다.

• ¹/₂x＋y＝9
• x－¹/₄y＝6

이번에는 분모의 최소공배수 4를 두 식에 곱해 2x＋4y＝36, 4x－y＝24로 바꾸었다. 학생은 y＝4x－24를 얻은 뒤 첫 식에 대입해 2x＋4(4x－24)＝36을 세웠다. 계산 중 괄호 앞의 4와 음수 부호에 밑줄을 긋고, 구한 값을 각 문장에 다시 대입했다. 두 조건이 각각 9와 6을 만드는지 말로 확인한 점도 이전 풀이와 달랐다.

힌트 없이 재현한 확인 장면

서신중학교와 전주서중학교가 포함된 생활권의 문제 자료에서 새로운 문제가 나왔을 때, 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 두 식의 분모를 살폈다.

²/₃x－y＝5,　¹/₂x＋¹/₂y＝6

학생은 “분모를 먼저 없애면 대입할 식을 고르기 쉽고, 한 미지수의 계수가 1인 식을 만들 수 있다”고 설명했다. 6을 곱해 4x－6y＝30, 3x＋3y＝36으로 바꾼 뒤 둘째 식을 x＋y＝12로 줄이고, x＝12－y를 첫째 식에 대입했다. 구한 값을 두 정수 계수식과 처음의 분수식에 차례로 넣어 모두 성립하는지 확인했다. 이번에는 식의 순서가 아니라 분모 처리와 대입 후 한 미지수만 남는지를 기준으로 첫 행동을 스스로 결정했다.